Satz zu konvergenten Folgen und Supremum.

Question

Aufgabe:

Habe folgende Frage:

Und zwar wir haben eine nach oben beschränkte Menge C ⊂ ℝ. Und nun wollen wir folgendes zeigen:

Wenn es eine Folge (c_n)_n∈ℕ mit c_n ∈ C für alle n ∈ ℕ gibt, die gegen c konvergiert, dann ist eine obere Schranke c ein Supremum für C.

Problem/Ansatz:

Also ich kann es mir logisch erschließen, aber weiß nicht wie ich es beweisen soll... Hoffe mir kann jemand helfen :)

Comments

Ansatz: Versuch zu zeigen, dass jedes Element kleiner als c keine obere Schranke ist.

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Hallo

Kannst du den Satz , den du beweisen willst exakt zitieren? So wie er da steht ist er falsch,  nimm an C=(-1000,1000)

und cn=1/n dann ist c=0 aber keine obere Schranke

also fehlt in deiner Behauptung etwas.

Gruß lul

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Hier wird aber auch gefordert, dass c eine obere Schranke ist. Der Satz gilt ja nur für obere Schranken c.

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Der Satz lautet mit den oben beschriebenen Bedingungen:

Zeige, dass eine obere Schranke c ein Supremum für C ist, wenn eine Folge (c_n)_n∈ℕ existiert mit c_n ∈ C für alle n∈ℕ, welche gegen c konvergiert.

Aber müsste eigentlich das gleiche sein, wie ich es oben geschrieben hatte. Dachte ich zumindest. Aber vielleicht wird es jetzt klarer lul.

Gruß

Mathcrack

Answer 1

Hallo,

c ist eine obere Schranke. Wenn es nicht das Supremum ist, dann gilt für das "wahre" Supremum s: \(c>s\).

Schreibe jetzt die Definition für \(c_n \to c\) ( \(\epsilon , N(\epsilon)\)) und zwar konkret für \(\epsilon:=0.5(c-s)\).

Folgere, dass unendlich viele c_n oberhalb von s liegen, Widerspruch.

Gruß Mathhilf