ich verzweifle an folgender Aufgabe.. Ich hab dazu nichts im Skript gefunden und brauche dringend Hilfe, da das Klausurrelevant ist. Wenns geht, würde ich gerne Lösungsansatz + Lösung bekommen zum eigenen vergleich. Aufgabe:
Text erkannt:
Aufgabe 3 (Mittelwertsatz und Fixpunkte, \( 10+5=15 \) Punkte). Sei \( f:[a, b] \rightarrow[a, b] \) stetig.
1. Zeigen Sie: \( f \) hat einen Fixpunkt \( \tilde{x} \) in \( [a, b] \), d.h. es existiert ein \( \tilde{x} \in[a, b] \) mit \( f(\tilde{x})-\tilde{x}=0 \). Hinweis: Verwenden Sie den folgenden Zwischenwertsatz für eine geeignet gewählte Funktion \( g \).
Sei \( g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion mit \( g(a)<0 \) und \( g(b)>0 \) (oder \( g(a)>0 \) und \( g(b)<0) . \) Dann existiert ein \( \xi \in[a, b] \) mit \( g(\xi)=0 . \)
2. Ist die Aussage in Aufgabeteil (a) immer noch wahr, wenn wir \( [a, b] \) durch \( [0, \infty) \) oder durch \( (a, b) \) ersetzen? Beweisen Sie die Aussage oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
