Abbildung auf Linearität überprüfen, p(x) ↦ x^2 p(x) und p(x) ↦ p(1)

Question

Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

(i) ℝ_n [x] →ℝ , p(x) ↦ p(1)

(ii) ℝn [x] →ℝ_n+2[x] , p(x) ↦ x²p(x)

Problem:

Wie man grundsätzlich Abbildungen auf Linearität überprüft, weiß ich.

Ich weiß aber nicht, wie ich die Regeln ( T(x+y) = T(x) + T(y), T(αx) = αT(x) ) nachweisen soll, wenn die Funktionen wie oben definiert sind.

Bei einer Funktion wie bspw. \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) ↦ x+2y kann ich die Regeln ja einfach nachweisen, indem ich einsetze & umforme.

Aber wie funktioniert das, wenn ich die oben angegebenen Funktionen habe?
Mir würde ein Ansatz reichen ...

.

Answer 1

Aber wie funktioniert das, wenn ich die oben angegebenen Funktionen habe?

Die "Vektoren" sind ja jetzt die Polynome mit Grad ≤ n.

Die sehen alle so aus

p(x) =  a_n*x^n + a_n-1*x^(n-1) + ... * a₁*x + a₀

Dann musst du schauen ob  T(p+q) = T(p) + T(q)

und T(c*p) = c*T(p) .

Nun ist ja T(p) = p(1) , das ist quasi die Summe der Koeffizienten

von p. (und bei q, eben der von q).

Und weil bei p+q die entsprechenden Koeffizienten auch addiert werden,

ist die Additivität schon mal erfüllt. etc.

Comments

Super, vielen Dank!