Linearität von Abbildung überprüfen

Question

Aufgabe:

Sei w = \( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ∈ R³, w ungleich 0, vorgegeben. Rechnen Sie nach, dass die folgenden Abbildungen tatsächlich linear sind und finden Sie jeweils die entsprechende Matrix (bzgl. der kanonischen Basen).

L:R³ →R³, definiert durch L(v) = w×v für alle v ∈ R³

Problem/Ansatz:

Wie kann man beweisen, dass die Abbildung linear ist. Es gibt die zwei Bedingung, die besagen:

 L(v + w) = L(v) + L(w) und L(λv) = λL(v).

Wie kann ich das nun anwenden? Muss ich statt v zum Beispiel (w x v) einsetzen und überprüfen, ob die Bedingungen eintreffen? Und zweite Frage: Bedeutet das x die eintragsweise Multiplikation, also a*x, b*y, c*z?

Answer 1

Aloha :)

Wir prüfen, ob die Abbildung \(L\) die nötigen Kriterien für Linearität erfüllt. Da wir eh eine entsprechende Abbildungsmatrix angeben sollen, bilden wir diese zuerst und nutzen sie, um die Linearität zu zeigen.

$$L(\vec v)=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}bv_3-cv_2\\cv_1-av_3\\av_2-bv_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0v_1-cv_2+bv_3\\cv_1+0v_2-av_3\\-bv_1+av_2+0v_3\end{array}\right)$$$$L(\vec v)=\underbrace{\left(\begin{array}{c}0 & -c & b\\c & 0 & -a\\-b & a & 0\end{array}\right)}_{=:A_L}\cdot\vec v$$Der Nachweis der Lineariät kann nun mit Hilfe der Eigenschaften von Matrizen schnell erbrecht werden:

$$L(\vec v+\vec w)=A_L\cdot\left(\vec v+\vec w\right)=A_L\cdot\vec v+A_L\cdot\vec w=L(\vec v)+L(\vec w)$$$$L(\lambda\cdot\vec v)=A_L\cdot(\lambda\vec v)=\lambda(A_L\cdot\vec v)=\lambda\cdot L(\vec v)$$