Bei welcher Menge von x1 werden bei einem Output von 4828 ME die Kosten minimal?!

Question

Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute

F(x1,x2)=2x₁²+67x₁x₂+2x₂²,
wobei x1 und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 84 bzw. 87 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 4828 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Ermitteln Sie die folgenden Größen:

a. Bei welcher Menge von x1 werden bei einem Output von 4828 ME die Kosten minimal?
b. Bei welcher Menge von x2 werden bei einem Output von 4828 ME die Kosten minimal?
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum?
d. Wie lautet das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren x1 und x2?
e. Wie hoch sind die Produktionskosten C(x1,x2) im Optimum?

Problem/Ansatz:

x₁ = x        x₂ =y

L(x,y,λ) = 84x+87y+λ*(2x² + 67xy+2y² -4828)

Lx=84+4λx+67y = 0

Ly=87+67λx+4y = 0

Lλ= 2x² + 67xy+2y² -4828= 0

λ= -84/4x+67y in Ly einsetzen

87*(4x+67y) - 84*(67x+4y) = 0

x= 5493/5280*y in Lλ einsetzen

b. y= 7,934954869

a. x= 8,255058162

c. λ= -0,148761505

e. F(8,26;7,93)= 4650,954423

Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Ergebnisse richtig sind und weiß jemand vielleicht wie man d. ausrechnet? ?

Answer 1

Deine Partiellen Ableitungen sind schon verkehrt. Nimm mal einen Ableitungsrechner zur Hilfe. Deine Ergebnisse sind daher auch nicht richtig.

Hier eine Vergleichslösung von Wolfram Alpha

Comments

Ok dankeschön und wie berechnet man das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren x1 und x2?

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wie berechnet man das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren x1 und x2?

x1 durch x2 teilen

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Also 8,41071/8,08457=1,0403410447

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Also 8,41071/8,08457=1,0403410447

genau.

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Ich habe eine Frage, wenn ich jetzt die Produktionskosten C(x₁ ,x₂ ) im Optimum berechnen will, dann muss ich ja F(8,41;8,08) einsetzen und da kommt 4828 heraus. Mann kann, aber die Produktionsosten auch mit Lλ(8,41;8,08;-0,146) berechnen und da kommt 1409,857541 heraus. Da sollten ja eigentlich die selben Ergebnisse herauskommen oder?

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Wie kommst du darauf, dass die Produktionsfunktion F(x, y) die Kosten angiebt? Die Produktionsfunktion gibt die Ausbringungsmenge an.

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Ok ja ich muss dann 84*8,41+87*8,08=1409,86. Ich wollte noch noch fragen stimmt

λ= -84/4*8,41+67*8,08= -0,1460?

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Ja, je noch gewähler Ausgangsgleichung ist λ = ±0.1460084445

Bei dir wäre Minus richtig weil du die Lagrangefunktion mit einem Plus aufgestellt hast. Wir hatten die damals aber immer mit Minus aufgestellt.

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Aber ich glaube es stimmt mit Minus nicht, weil ich bei der Eingabe nicht alle Punkte habe und sonst weiß ich nicht was da falsch wäre?

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Wie gesagt. Ich hätte + heraus, weil wir die Lagrangefunktion mit einem minus vor dem Lambda definiert hatten. Wenn du sonst alles richtig hast dann gib das doch mit + ein. Ich hätte es eh mit plus eingegeben.

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ok werde ich probieren Dankeschön

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Es gibt intelligentere Lösungsmasken bei denen steht dann man soll den Betrag des Lagrange-Multiplikators angeben.