Aloha :)
Hier geht es darum, die Kosten \(c(x;y)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(F(x;y)=\text{const}\) zu optimieren. Dabei sind:$$c(x;y)=57x+65y\quad;\quad F(x;y)=5x^2+71xy+5y^2=5(x+y)^2+61xy\stackrel!=6759$$Da \(x\) und \(y\) nicht negativ werden können, suchen wir eine Lösung im 1-ten Quadranten.
Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}c=\lambda\cdot\operatorname{grad}F\quad\implies\quad\binom{57}{65}=\lambda\binom{10x+71y}{71x+10y}$$Wir dividieren die Gleichung der ersten Koordinate durch diejenige der zweiten Koordinate:$$\frac{57}{65}=\frac{10x+71y}{71x+10y}\implies57(71x+10y)=65(10x+71y)\implies\underline{\underline{3397x=4045y}}$$Damit sind wir fertig und können alle Fragen beantworten:
zu a) Wir setzen \(y=\frac{3397}{4045}x\) in die Nebenbedingung ein:$$6759=5\left(1+\frac{3397}{4045}\right)^2x^2+61\cdot\frac{3397}{4045}x^2\approx68,1523x^2\implies\boxed{x\approx9,958662}$$
zu b) Wir setzen \(x\) in unsere gefundene Bedingung ein:$$y=\frac{3397}{4045}x\approx\frac{3397}{4045}\cdot9,958662\implies\boxed{y\approx8,363306}$$
zu c) Der Lagrange-Multiplikator folgt aus der Gradientenbedingung:$$\lambda=\frac{57}{10x+71y}\approx\frac{57}{10\cdot9,958662+71\cdot8,363306}\implies\boxed{y\approx0,082206}$$
zu d) Hier hiflt unsere gefundene Bedingng direkt weiter:$$\boxed{\frac{x}{y}=\frac{4045}{3397}\approx1,190756}$$
zu e) Wir setzen die Ergebnisse aus a) und b) in die Kostenfunktion ein:$$\boxed{c_{\text{min}}=1111,26}$$
Deine Ergebnisse weichen stark von meinen ab. Das deutet darauf hin, dass du vermutlich etwas Grundsätzliches falsch gemacht hast. Ich hoffe, die komplette Lösung hilft dir, alles zu verstehen.
