Aloha :)
Um Indizes zu sparen, schreibe ich \(x\) für \(x_1\) und \(y\) für \(x_2\). Wir sollen die Kosten \(K(x,y)\) unter der Nebenbedingung \(G(x,y)=F(x,y)-5374=0\) optimieren:$$K(x,y)=69x+82y\quad;\quad G(x,y)=3x^2+72xy+3y^2-5374\stackrel!=0$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein:$$\operatorname{grad}K(x,y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}G(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad\binom{69}{82}=\lambda\binom{6x+72y}{72x+6y}$$
Da die Gradienten also linear abhängig sein müssen, liegen beide parallel oder antiparallel zueinander und spannen keine Fläche auf. Daher muss die aus ihnen gebildete Determinante gleich \(0\) sein:
$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}69 & 6x+72y\\82 & 72x+6y\end{vmatrix}=69(72x+6y)-82(6x+72y)=4476x-5490y\implies$$$$4476x=5490y\implies \underline{\underline{y=\frac{4476}{5490}x=\frac{746}{915}x}}$$
Mit dieser gefundenen Bedingung können wir nun alle Fragen beantworten:
a) Bei welcher Menge \(x\) werden die Kosten minimal?
Wir setzen die Bedingung in die Gleichgung für \(G(x;y)\) ein:
$$0=G\left(x\,;\,\frac{746}{915}x\right)=3x^2+72x\frac{746}{915}x+3\left(\frac{746}{915}x\right)^2-5374\implies$$$$0=\frac{17\,775\,901}{279\,075}x^2-5374\implies x^2=\frac{5374\cdot279\,075}{17\,775\,901}\implies \boxed{x\approx9,185303}$$Da es keine negativen Faktoren \(x,y\) gibt, kommt für \(x\) nur die positive Lösung in Betracht.
b) Bei welcher Menge \(y\) werden die Kosten minimal?
$$\boxed{y=\frac{746}{915}x\approx7,488783}$$
c) Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\)?
Von der Gradientengleichung wählen wir die für die erste Koordinate und rechnen:
$$69=\lambda(6x+72y)=\lambda(6\cdot9,185303+72\cdot7,488783)=594,304194\lambda\implies$$$$\boxed{\lambda=\frac{69}{594,304194}\approx0,116102}$$
d) Kostenminimales Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren \(x_1\) und \(x_2\)?
Das ist genau die oben doppelt unterstrichene Bedingung:$$\boxed{\frac{x}{y}=\frac{915}{746}\approx1,226542}\quad;\quad\boxed{\frac{y}{x}=\frac{746}{915}\approx0,815301}$$
Welches der beiden Verhältnisse du angeben sollst, weiß ich nicht. Ich vermute das erste, allerdings kenne ich eure Vorlesung nicht und weiß nicht, wie ihr das vereinbart habt.
e) Wie hoch sind die Produktionskosten im Optimum?
$$K(7,488783;9,185303)=69\cdot7,488783+82\cdot9,185303=\boxed{1247,87}$$
