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Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute
$$ F\left(x_{1}, x_{2}\right)=5 x_{1}^{2}+63 x_{1} x_{2}+5 x_{2}^{2} $$
wobei \( x_{1} \) und \( x_{2} \) die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren \( A \) und \( B \) bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 87 bzw. 57 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 4544 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren \( A \) und \( B \) existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Ermitteln Sie die folgenden Größen:
a. Bei welcher Menge von \( x_{1} \) werden bei einem Output von 4544 ME die Kosten minimal?
b. Bei welcher Menge von \( x_{2} \) werden bei einem Output von 4544 ME die Kosten minimal?
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator \( \lambda \) im Kostenminimum?
d. Wie lautet das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren \( x_{1} \) und \( x_{2} ? \)
e. Wie hoch sind die Produktionskosten \( C\left(x_{1}, x_{2}\right) \) im Optimum?
Aufgabe:
Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute
F(x1,x2)=5x1^2+63x1x2+5x2^2
wobei x1 und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 87 bzw. 57 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 4544 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Ermitteln Sie die folgenden Größen:
a. Bei welcher Menge von x1 werden bei einem Output von 4544 ME die Kosten minimal?
b. Bei welcher Menge von x2 werden bei einem Output von 4544 ME die Kosten minimal?
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator im Kostenminimum?
d. Wie lautet das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren x1 und x2?
e. Wie hoch sind die Produktionskosten C(x1,x2) im Optimum?
Problem/Ansatz:
kann mir Jemand hier bitte helfen ?
