Wie bestimmt man den Summenwert der geometrischen Reihe?

Question

Aufgabe:

Wie bestimme ich den Summenwert der geoemtrische Reihe?

Wie kann man das schritt für Schritt lösen?

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{{(-\frac{1}{8})}^{n-1}} \)

Answer 1

Aloha :)

Hier kann eine Indexverschiebung helfen:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{8}\right)}=\frac{1}{\frac{9}{8}}=\frac{8}{9}$$

Comments

Danke, aber wie kommst du auf die Lösung nach den Summenzeichen auf diesen Bruch 1/1-(-1/8)

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Wie leitet man die Summenformel her?

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Die Herleitung der Summenformel kannst du z.B. so machen. Du definierst:$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=0}^Nq^n$$und berechnest dann den folgenden Ausdruck:$$S_N-q\cdot S_N=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-q\cdot\sum\limits_{n=0}^Nq^n=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\sum\limits_{n=0}^Nq^{n+1}$$$$\phantom{S_N-q\cdot S_N}=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\sum\limits_{n=1}^{N+1}q^n=\left(q^0+\sum\limits_{n=1}^Nq^n\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^{N}q^n+q^{N+1}\right)$$Die beiden Summen heben sich nun raus und es bleibt übrig:$$S_N-q\cdot S_N=q^0-q^{N+1}=1-q^{N+1}$$Jetzt kannst du links \(S_N\) ausklammern und findest dann:$$(1-q)\cdot S_N=1-q^{N+1}$$$$S_N=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$$Wenn nun \(|q|<1\) ist, konvergiert \(q^{N+1}\) für \(N\to\infty\) gegen \(0\) und wir können den Grenzwert angeben:$$S_\infty=\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad;\quad |q|<1$$Jetzt musst du nur noch \(q=-\frac{1}{8}\) einsetzen und hast das Ergebnis.

Answer 2

a0= (-1/8)^0 = 1, q= -1/8

nach Summenformel ergibt sich:

1/(1-(-1/8)) = 1/(9/8) = 8/9

Comments

Was ist die Summenformel?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Answer 3

Hallo,

Wie kann man das schritt für Schritt lösen?

also ohne Kenntnis der Formel für die geometrische Reihe.

Betrachte dazu zwei Reihen, bei der man bei einer die Basis ausklammert und dann beide von einander abzieht. Ganz konkret sieht das in diesem Fall so aus. Ich setze zunächst$$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1}=x $$und dann bilde ich eine zweite Reihe, hier z.B. indem ich das erste Element heraus ziehe$$\begin{aligned} x &= 1 + \sum\limits_{n=2}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} \\ &= 1 + \left(-\frac{1}{8}\right)\sum\limits_{n=2}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-2} \\ &= 1 + \left(-\frac{1}{8}\right)\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} \\ x &= 1 - \frac x8 &&\,\left|+ \frac x8\right.\\ \frac 98 x &= 1 &&\,\left|\, \cdot \frac 89\right.\\ x &= \frac 89 \end{aligned} $$nach dem gleichen Verfahren kannst Du auch ganz allgemein, die Summenformel der geometrischen Reihe herleiten.