Gegeben seien die Vektorräume Zeigen Sie gleich

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektorräume
\( U:=\operatorname{span}\left\{\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right\} \quad \text { und } \quad V:=\operatorname{span}\left\{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right)\right\} \)
a) Zeigen Sie: \( U=V \).
b) Welche Dimension haben \( U \) bzw. \( V \) ? Geben Sie Basisvektoren an für \( U \) bzw. \( V \).

Answer 1

Aloha :)

Wir rechnen aus beiden Erzeugendensystemen die linearen Abhängigkeiten heraus.

Für das Erzeugendensystem \(U\):$$\begin{array}{rr}+2S_2 & \cdot(-1)\\\hline2 & -1\\-1 & 0\\0 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rr}\vec u_1 &\vec u_2 \\\hline0 & 1\\-1 & 0\\2 & -1\end{array}$$

Für das Erzeugendensystem \(V\):$$\begin{array}{rr}\colon3 & \cdot(-1)\\\hline3 & 0\\0 & 1\\-3 & -2\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rr}\vec v_1 & \vec v_2\\\hline1 & 0\\0 & -1\\-1 & 2\end{array}$$

Wir können \(U\) und \(V\) auf dieselbe Basis, bestehend aus zwei Basisvektoren zurückführen.

Daher ist \(U=V\) und die Dimension des Vektorraums ist \(2\).