Hallo, ich habe leider mal wieder Probleme bei der Linearen Algebra:
Seien \( V, W, Z \) drei \( K \) -Vektorräume.
(1) Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen
$$ i: V \rightarrow V \oplus W, v \mapsto(v, 0) \quad \text { und } \quad j: W \rightarrow V \oplus W, w \mapsto(0, w) $$
lineare Abbildungen sind. Kommentar: Man nennt diese Abbildungen \( i \) und \( j \) Inklusionen, obwohl es sich bei \( V, W \) nicht um Teilmengen von \( V \oplus W \) handelt.
(2) Zeigen Sie, dass es zu jedem Paar von linearen Abbildung
$$ f_{V}: V \rightarrow Z \quad \text { und } \quad f_{W}: W \rightarrow Z $$
genau eine lineare Abbildung
$$ f: V \oplus W \rightarrow Z \text { gibt mit } f_{V}=f \circ i \text { und } f_{W}=f \circ j $$
(3) Folgern Sie, dass jede lineare Abbildung \( K^{n} \rightarrow K \) der Gestalt
$$ \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mapsto a_{1} x_{1}+\cdots+a_{n} x_{n} $$
für geeignete \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \) ist
Hat jemand Ideen, wie man an diese Aufgaben herangehen könnte?
VG!
