Zeigen Sie, dass (R,+,*) ein Ring ist.

Question

Aufgabe:

Sei R : = {f: ℝ → ℝ | f ist Abbildung}. Wir definieren

+ : R×R → R, (f,g) ↦f+g,

Und

* : R×R → R, (f,g) ↦ f*g,

wobei f+g definiert ist durch (f+g)(x) = f(x) + g(x) und f*g definiert ist durch (f*g)(x) = f(x) * g(x).

Zeigen Sie, dass (R,+,*) ein Ring ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß das folgendes gelten muss:

1. (R,+) ist eine abelsche Gruppe

2. (R,*) erfüllt die Bedingungen:

a) Die Verknüpfung * ist assoziativ

b) * ist kommutativ

c) Es existiert ein neutrales Element für alle a,b,c ∈ R

3. Es gilt das Distributivgesetz, für alle a,b,c ∈ R ist also (a+b)*c = (a*c) + (b*c)

Jedoch ist mir nicht ganz bewusst wie ich das hier zeigen soll.

Answer 1

1. (R,+) ist eine abelsche Gruppe

Seien \(f,g,h \in R\).

Sei \(x \in \mathbb{R}\) .

Dann ist

        \(\begin{aligned}&((f+g)+h)(x)\\=\,&(f+g)(x) + h(x)\\=\,&(f(x)+g(x))+h(x)\\=\,&f(x)+(g(x)+h(x))\\=\,&f(x)+(g+h)(x)\\=\,&(f+(g+h))(x)\end{aligned}\text{.}\)

Also gilt für \((R,+)\) das Assoziativgesetz.

Zeige nach diesem Schema, dass auch die übrigen Gesetze gelten.

Comments

Das ist so korrekt aber das neutrale Element kannst du so nicht beweisen.

Das musst du inetwa so machen:

Sei e das neutrale Element dann gelte:

$$e*x=x$$

folglich 1 also hast du ein neutrales Elmement nämlich 1

Bei plus ist das die 0 das kannst du wie oben analog machen