Bestimmen Sie eine Basis von U, W und U ∩ W .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( U=\left\{x \in \mathbb{R}^{4}: x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=0\right\} \quad \) und \( \quad W=\left\{x \in \mathbb{R}^{4}: x_{1}=0, x_{2}=2 x_{3}\right\} . \)
(a) Bestimmen Sie eine Basis von \( U, W \) und \( U \cap W \).
(b) Prüfen Sie, ob \( U+W=\mathbb{R}^{4} \) gilt.

Answer 1

Elemente von U sehen so aus:

x1 beliebig ( etwa x1=s ) und x2 = 2x3 - x4

also x3=t und x4 =u auch beliebig somit sind alle so:

$$\begin{pmatrix} s\\2t-u\\t\\u \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} s\\0\\0\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\2t\\t\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\-u\\0\\u \end{pmatrix}$$

$$=s*\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 0\\2\\1\\0 \end{pmatrix}+u*\begin{pmatrix} 0\\-1\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Also ist $$\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\2\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\-1\\0\\1 \end{pmatrix}$$

eine Basis für U.

So ähnlich findest du auch was für W, und für den Durchschnitt nimmst du

alle Gleichungen zu einem Gleichungssystem zusammen.

Comments

Danke für die Antwort. Hast du auch einen Ansatz für b)? Denn da komme ich auch nicht weiter...

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In W ist doch wohl enthalten der Vektor

0
0
0
1

und der bildet mit den Basisvektoren von U eine

Basis von R^4. Also ist U+W=R^4 .