Geradengleichung verschiedene aufgabe

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}5 \\ 2 \\ -5\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \).
a) Geben Sie eine weitere Gleichung für g an, bei welcher sowohl der Stützvektor als auch der Richtungsvektor verändert wurden.
b) Geben Sie die Gleichung einer zu g parallelen Geraden h an, die durch den Punkt \( \mathrm{A}(2|8| 4) \)
geht.
c) Welche Punkte liegen auf der Geraden g und haben vom Punkt \( \mathrm{P}(5|2|-5) \) den Abstand \( 6 \mathrm{LE} \) ?
d) Schneidet die Gerade g eine der Koordinatenachsen?

Answer 1

a) Betrachte mal was ich gemacht habe um den Stütz und den Richtungsvektor zu verändern. Kommst du darauf?

X = [5, 2, -5] + r * [2, 1, -2]

X = [7, 3, -7] + r * [2, 1, -2]

X = [7, 3, -7] + r * [4, 2, -4]

b)

X = [2, 8, 4] + r * [2, 1, -2]

c)

X = [5, 2, -5] ± 6 * [2, 1, -2]/|[2, 1, -2]|

d)

X = [5, 2, -5] -2.5 * [2, 1, -2] = [0, -0.5, 0] → Die Y-Achse wird geschnitten

Comments

Danke, ich habe zur c und zur d fragen. Also bei der c bräuchte ich eine Erklärung, da ich das mit dem Abstand nicht so verstanden habe und bei der d weiß ich nicht wie du auf 2,5 kommst.

Answer 2

Hallo,

\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}5 \\ 2 \\ -5\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \)

a) Geben Sie eine weitere Gleichung für g an, bei welcher sowohl der Stützvektor als auch der Richtungsvektor verändert wurden.

Wähle z.B. s = 1 um einen weiteren Punkt auf der Geraden zu bestimmen und nimm ein Vielfaches des Richtungsvektors von g als Richtungsvektor dieser Geraden.

b) Geben Sie die Gleichung einer zu g parallelen Geraden h an, die durch den Punkt \( \mathrm{A}(2|8| 4) \)geht.

Nimm A als Stützvektor und den Richtungsvektor von g.

c) Welche Punkte liegen auf der Geraden g und haben vom Punkt \( \mathrm{P}(5|2|-5) \) den Abstand \( 6 \mathrm{LE} \) ?

Der Abstand vom Stützvektor zu einem anderen Punkt auf der Geraden soll 6 LE betragen:

\(\sqrt{4s^2+s^2+4s^2}=6\\ \sqrt{9s^2}=6\\ \pm3s=6\\s=2\quad 2=-2\)

Setzte 2 und -2 für s in dei Geradengleichung ein.

d) Schneidet die Gerade g eine der Koordinatenachsen?

Prüfe folgende Gleichungen auf Lösungen

\(\left(\begin{array}{r}5 \\ 2 \\ -5\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)=\begin{pmatrix} x\\0\\0 \end{pmatrix}\\ \left(\begin{array}{r}5 \\ 2 \\ -5\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)=\begin{pmatrix} 0\\y\\0 \end{pmatrix}\\ \left(\begin{array}{r}5 \\ 2 \\ -5\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)=\begin{pmatrix} 0\\0\\z \end{pmatrix}\\\)

und melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Hei, tut mir leid, falls ich nerve, aber bei der c verstehe ich nicht wie du auf diese Wurzel kommst.

4s2+s2+4s2               

Also ich weiß so wird der Abstand berechnet , aber ich meine die Zahlen.

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Du nervst nicht und kannst so lange fragen, bis du alles verstanden hast.

\(s \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)= \begin{pmatrix} 2s\\s\\-2s \end{pmatrix}\)

Die quadrierten Koordinaten ergeben die Summe unter der Wurzel.

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Bei der d muss ich ja Lösungen für s finden, aber ich komme nicht auf das richtige Ergebnis.

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1. Gleichungssystem, Schnittpunkt mit x-Achse

5 + 2s = x

2 + s = 0

-5 - 2s = 0

Die 2. Gleichung ergibt s = -2, die dritte jedoch s = 2,5. Dieser Widerspruch zeigt, es gibt keinen Schnittpunkt

2. Gleichungssystem, Schnittpunkt mit y-Achse

5 + 2s = 0

2 + s = y

-5 -2s = 0

1. und 3. Gleichung ergeben für s = -2,5

In die dritte Gleichung eingesetzt: y = -0,5, also Schnittpunkt S (0|-0,5|0).

Versuche jetzt selber die dritte Gleichung, hier ergibt sich wieder ein Widerspruch.

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Achso mein Fehler war, dass ich für x, y und z den Wert 1 verwendet hatte, aber jetzt habe ich es verstanden. Dankeschön

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Achso mein Fehler war, dass ich für x, y und z den Wert 1 verwendet hatte, aber jetzt habe ich es verstanden. Dankeschön

Falls es für dich kein Problem ist. könntest du vielleicht bei meiner Frage "https://www.mathelounge.de/847505/geben-sie-reelle-zahlen-an" auch mal vorbei schauen.

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Hallo Silvia,

ich sitze vor der gleichen Aufgabe und scheitere schon bei a. Ich verstehe es nicht wie man eine weitere Gleichung findet. Ich verzweifele schon.

Könntest du mir deine Erklärung mit Zahlen in einer Gleichung erklären.

Ausgang ist:

g:x= (1;1;2) +s*(0;-2;7)

"Geben Sie eine weitere Gleichung für g an, bei welcher sowohl der Stützvektor als auch der Richtungsvektor verändert wurden.
Wähle z.B. s = 1 um einen weiteren Punkt auf der Geraden zu bestimmen und nimm ein Vielfaches des Richtungsvektors von g als Richtungsvektor dieser Geraden."

Heißt das evtl ich könnte den Stützvektor mit 2 multiplizieren und s mit 1 und erhalten dann z.B. folgende Gleichung:

g:x=(2;2;4)+s*(0;-2;7)

Liebe Grüße

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Hallo Manni,

wenn du s = 1 wählst und Ortsvektor und Richtungsvektor addierst, erhältst du den Punkt (1|-1|9). Den kannst du als neuen Ortsvektor wählen. Dann nimmst du zum Beispiel den doppelten Richtungsvektor (s = 2) und kommst damit auf die Geradengleichung

\(g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\9 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0\\-4\\14 \end{pmatrix}\)

Ist es jetzt verständlich?