Diophantische Gleichungen (Ganzzahlige Lösungen finden)

Question

Aufgabe:

"Hat die folgende Gleichung ganzzahlige Lösungen? Geben sie ggf. eine an"

165x + 209y = 385

Lösung laut Aufgabenblatt:

x = - 175 / y = 140

Problem/Ansatz:

Also erstmal habe ich nach dem ggT gesucht - das wäre die 11.

209 = 1*165 + 44

165 = 3*44 + 33

44 = 1*33 + [11]

33 = 3*11+0

Danach habe ich aus der 11 eine "diophantische Gleichung" gemacht:

11 = 44 - 1*33

11 = 44-1*(165-3*44)

11= 44-1*165+3*44

11= (zusammenfassen) 4*44 - 1*165

11 =   4*(209-1*165)-1*165

11 = 4*209-4*165-1*165

11= (zusammenfassen) 4*209 - 5*165

MEINE Lösung: x = 4, y = -5

LAUT LÖSUNG IM AUFGABENBLATT SOLL ABER

x = - 175 / y = 140 herauskommen.

WAS HABE ICH FALSCH GEMACHT? :(

Comments

Bei A(-4|5) liegt auch ein Punkt. Komisch, dass du (4|-5) herausbekommen hast.

Answer 1

Schon die Lösung auf dem Aufgabenblatt ist falsch. Richtig ist: x=(35-19y)/15,

Lösungen y=5+15k für k∈ℤ; x=-4+19k für k∈ℤ.

Für k=0 ist x=-4 und y=5.

Comments

Warum ist die Lösung auf dem Blatt falsch? Die Probe geht doch auf.

Answer 2

WAS HABE ICH FALSCH GEMACHT? :(

Ganz zum Schluss hast Du x und y verwechselt und dann nicht zuende gerechnet:

Dein Ergebnis:

$$(x=-5) 165+(y=4)209=11$$

Um jetzt die eigentliche Aufgabe zu lösen, musst Du diese Gleichung mit 35 multiplizieren:

$$(x=-175) 165+(y=140)209=385$$

Für alle weiteren Kommentare etc ist zu berücksichtigen, dass die Gleichung linear ist, also kann man zu dieser Lösung alle Lösungen der homogenen Gleichung addieren:

$$x=-\frac{209}{165}y=-\frac{19}{15}y$$

Wegen der benötigten Ganzzahligkeit: \(y=15s,x=-19s\) mit ganzzahligem s.

Gruß Mathhilf