Stellen Sie jeweils die Zahl z ∈ C in der Form z = x + iy mit x; y ∈ R da

Question

Aufgabe:

Stellen Sie jeweils die Zahl z ∈ C in der Form z = x + iy mit x; y ∈ R da fuer

z = (\( \frac{1}{1} \) \( \frac{-i}{+i} \) )⁴     (ii) z = (1 + i)²ⁿ + (1 − i)²ⁿ mit n∈N

Problem/Ansatz:

Diese Aufgabe ist freiwillig zwar, aber ich würde sie schon dennoch gerne lösen, hätte da jmd. einen eventuellen Rechen/Lösungsweg zu ?

Answer 1

Hallo

bestimme erstmal die ersten paar Potenzen von 1+i und 1-i

das brauchst du für  beide Rechnungen wenn du (1+i)^2 hast  sind die geraden Potenzen ja leicht.

das ist für diesen einfachen Spezialfall, sonst wenn man einen Bruch hat erweitert man mit dem konjugiert komplexen des Nenners.

dritte Möglichkeit, falls ihr die schon hattet : in der Form r*e^iφ schreiben also 1+i=√2*e^iπ/2.

Gruß lul

Answer 2

Text erkannt:

\( z=\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{4}=\left(\frac{(1-i)^{2}}{(1+i)(1-i)}\right)^{4}=\left(\frac{(1-i)^{2}}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16} \cdot\left((1-i)^{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}(1-2 i-1)^{4}= \)
\( =\frac{1}{16}(-2 i)^{4}=\frac{1}{16}\left((-2 i)^{2}\right)^{2}=\frac{1}{16}(-4)^{2}=1 \)

Answer 3

Hallo,

Wolframalpha hilft. Nun musst du nur noch rechnen.

:-)