Aloha ;)
a) Ben gewinnt, wenn er mindestens 8 der 15 Spiele gewinnt. Ein Einzelspiel gewinnt Ben mit der Wahrscheinlichkeit \(p=0,6\), also verliert er ein Spiel mit der Wahrscheintlichkeit \(q=1-p=0,4\). Gemäß der Binomialverteilung ist die gesuchte Gewinnwahrscheinlichkeit für Ben:$$P(\text{Ben gewinnt Turnier})=\sum\limits_{k=8}^{15}\binom{15}{k}\cdot 0,6^k\cdot 0,4^{15-k}=0,786897\approx78,69\%$$(Anmerkung: Auf guten Taschenrechnern gibt es dafür die Funktion binomcdf().)
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass Ben \(n\) Spiele in Folge gewinnt liegt bei \(0,6^n\). Die Wahrscheinlichkeit, dass Laura von \(n\) Spielen mindestens eins gewinnt, ist das Gegenereignis dazu. Wir müssen daher folgende Gleichung lösen:$$\left.1-0,6^n\stackrel!=0,99\quad\right|-1$$$$\left.-0,6^n=-0,01\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.0,6^n=0,01\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(0,6^n\right)=\ln(0,01)\quad\right|\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)$$$$\left.n\cdot\ln\left(0,6\right)=\ln(0,01)\quad\right|\colon\ln(0,6)$$$$n=\frac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)}\approx9,015$$Es müssen also mindestens \(10\) Spiele gespielt werden, damit Laura eines davon mit \(99\%\) Wahrscheinlichkeit gewinnt. Mit \(9\) Spielen könnte es auch klappen, aber dann liegt die Wahrscheinlichkeit für einen Laura-Sieg nur bei \(98,99\%\).
