Beweis zur Konvergenz von Teilfolgen.

Question

Aufgabe:

ich habee eine Frage zu Konvergenz:

Und zwar soll ich folgendes beweisen:

Wenn jede Teilfolge von (b_n) eine Teilfolge besitzt, welche gegen b konvergiert, dann konvergiert b_n → b.

Problem/Ansatz:

Vielleicht kann mir da jemand helfen?

LG Mathcrack

Answer 1

Hallo,

man kann den Beweis indirekt führen: Wenn b nicht Grenzwert der Folge ist, dann gibt es ein \(\epsilon\) und eine unendliche Teilmenge \(I \sub \mathbb{N}\), so dass

$$\forall n \in I: |b_n-b| \geq \epsilon$$

Die Teilfolge \((b_n)_{n \in I}\) konvergiert aber nicht gegen b. Widerspruch

Gruß Mathhilf