Ermitteln Sie, bei welchem Steuerbetrag t die gesamten Steuereinnahmen T des Staates am größten sind.

Question

Aufgabe:

Angebot: pa(x)=0,5x^2-0,1x+10
Nachfrage: pn(x)=0,2x^2-8x+80

Problem

1) Ermitteln Sie, bei welchem Steuerbetrag t die gesamten Steuereinnahmen T des Staates am größten sind.
2) Berechnen Sie für diesen Fall die gesamten Steuereinnahmen T aus der Besteuerung dieses Produktes.
3) und den Gesamtumsatz U mit diesem Produkt.

Ansatz:
1) Hier habe ich überlegt, dass in einer Graphik das Rechteck der Steuereinnahme T/ Steueraufkommen am größten sein muss. Weiter komme ich leider nicht.

2) Wenn ich dann den Steuerbetrag t aus 1) hätte, dann würde ich für die gesamte Steuereinnahme T=(pn mit t) * t rechnen. Ist das korrekt so?

3) Für den Gesamtumsatz U müsste man U=(pa mit t) * (pn mit t) rechnen, oder?

Comments

Da fehlen ein bisschen die Definitionen der Variablen. Mit pa scheint der Angebotspreis und mit pn der Nachfragepreis gemeint zu sein, mit x die Menge. Aber was genau sind t und T?

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Hallo döschwo,

- t ist der absolute Steuerbetrag
- T ist die gesamte Steuereinnahme ( wenn ich richtig liege, ist das t*x)

Mir fehlt der Ansatz, wie ich auf den Steuerbetrag t damit die Steuereinnahme T am größten ist.

LG

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t ist pro Stück?

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Exakt.
t auf jede verkaufte Menge x des Produktes.

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Also Steuer pro Mengeneinheit.

Answer 1

Ohne Steuern gibt es ein Gleichgewicht bei x = 7 und p = 33.80. Der Umsatz beträgt 236.60 GE.

Mit Umsatzsteuern t pro ME verschiebt sich die Angebotskurve (ausgehend davon, der Anbieter habe die Steuern abzuliefern).

Die inverse Angebotsfunktion \( p = 0,5x^2-0,1x+10 \) wird zu

\( p-t = 0,5x^2-0,1x+10 \)

bzw. die Angebotsfunktion \( x=\frac{1}{10}(\sqrt{200 p-1999}+1) \) wird zu

\( x=\frac{1}{10}(\sqrt{200 (p-t)-1999}+1) \).

Das neue Gleichgewicht ist bei \( x=\frac{1}{6}(\sqrt{14641-120 t}-79) \) und meiner Meinung nach wäre \( x \cdot t \)  zu maximieren.

Comments

Soweit habe ich alles nachvollziehen können.

Aber wie kann ich denn x*t maximieren?

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Indem man \( \frac{1}{6}(\sqrt{14641-120 t}-79) \cdot t \) maximiert.

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Ich hätte nochmal eine Frage zu Ihrer Funktion. Bei der inversen Angebotsfunktion stimme ich Ihnen zu. Bei der Angebotsfunktion und Gleichgewicht weiß ich nicht wie sie vorgegangen sind. Können Sie mir diesen Schritt erläutern?

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Die Angebotsfunktion ist ja die Inverse der inversen Angebotsfunktion. D.h. ich habe die inverse Angebotsfunktion nach x aufgelöst.

Beim Gleichgewicht habe ich wieder die beiden Preise p_n und p_a gleichgesetzt, allerdings mit der neuen inversen Angebotsfunktion.

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Vielen Dank, das habe ich mir schon gedacht. Ich komme auch auf das gleiche Ergebnis. Ich habe dabei die "alte" pn mit der "neuen" pa gleichgesetzt.

Jetzt nochmal zu der Maximierung: Ich weiß nicht, wie man so eine Funktion maximiert. Also man möchte ja das die Umsatzeinnahme T am größten ist. T lässt sich berechnen aus x*t. Da die Funktion x=1/6*\( \sqrt{14641-120t-79} \) *t von den beiden gesuchten Variablen x und t abhängt, weiß ich nicht wie man vorgehen soll.

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Es hängt nicht die Funktion

\(x= \frac{1}{6}(\sqrt{14641-120 t}-79) \cdot t \)

von x und t ab, sondern es hängt die Funktion

\(T= \frac{1}{6}(\sqrt{14641-120 t}-79) \cdot t \) von t ab.

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Ok, ich verstehe.
Nun haben wir die Funktion T von t abhängig. Aber wie gehe ich bei der Maximierung vor?
Also T müsste für ein t maximal werden. Wie bekomme ich dieses t heraus?
Tut mir leid für die Umstände, bloß ich sitze an dieser Aufgabe schon etwas länger fest.
Ich nehme dankend alle Hilfestellungen an.

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Keine Ursache. Man findet das Maximum einer Funktion, indem man die erste Ableitung gleich Null setzt.

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Vielen Dank.
ich habe für die erste Ableitung die Funktion raus:

T'(t)= \( \frac{\sqrt{(14641-120t)}-79}{6} \)-\( \frac{10t}{\sqrt{14641-120t}} \)

Ist das soweit richtig, bevor ich Gleichung gleich Null setze?

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Ja, das habe ich auch.

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Das freut mich.
Ich habe die Funktion in Geogebra zeichnen lassen. Wenn wir die Funktion Null setzen, dann ist die gesuchte Größe im Prinzip unsere Nullstelle, ergo Hoch-/oder Tiefpunkt.
Nun habe ich Schwierigkeiten mit dem Nullsetzen.
Könnten Sie mir mit einem Rechenweg weiterhelfen?
Müsste man für die für die Bestimmung, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, auch die 2.Ableitung berechnen?

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Man kann sich ja die Funktion T zeichnen lassen, nicht die Ableitung. Dann sieht man, dass die Extremstelle bei t ≈ 37 ein Maximum ist.

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Eine Anmerkung zu ihrer Angebotsfunktion oben, welche nach x aufgelöst wurde:
Müsste der Vorfaktor nicht \( \frac{1}{100} \) sein, statt \( \frac{1}{10} \)?

Sprich: x= \( \frac{1}{100} \)*\( \sqrt{200p-1999} \)+1

Ich habe nämlich raus: x=\( \sqrt{2p-19,99}+0,1 \)

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Ich habe nachgerechnet und bleibe bei meiner Funktion. Ein Faktor 100 unter der Wurzel entspricht einem Faktor 10 ohne Wurzel.

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Da haben Sie recht, vielen Dank.

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Hallo döschwo,

ich bedanke mich für die ausführliche Antwort. Nun beschäftige ich mich mit einer anderen Teilaufgabe, wobei es im Prinzip die gleiche Thematik ist, bloß statt einem Steuerbetrag t auf jede Menge jetzt ein Steuerbetrag r prozentual auf den Verkaufspreis.

Ich bin ähnlich vorgegangen, wie bei dieser Aufgabe. Jedoch stoße ich auf einige Schwierigkeiten. Ich hoffe Sie können mir da auch weiterhelfen.

Meine Ansätze:
Für die Angebotsformel habe ich (p-r·p)=0,5x² -0,1x+10 angenommen.
Nun habe ich mein neues p_a und p_n gleichgesetzt.
Dabei ist folgendes rausgekommen: x=\( \frac{1}{6} \)·\( \sqrt{14641-120p·r}-79 \)
Für die vollständige Umsatzgleichung bin ich von T=x*r*p ausgegangen, sprich die Menge · Steuerbetrag % · Preis.

Folglich entstand diese Gleichung: T=(\( \frac{1}{6} \)·\( \sqrt{14641-120p·r}-79 \))·r·p
Diese habe ich dann 1. abgeleitet:

T'(r)=\( \frac{p(\sqrt{14641-120p·r}-79}{6} \)-\( \frac{10p²r}{\sqrt{14641-120p·r}} \)

Diese Gleichung wollte ich auch mit Null gleichsetzen um dadurch mein r herauszufinden. Und da fängt mein Problem an.
Ich glaube, dass mein Fehler schon ganz oben in der neuen Angebotsformel liegt.

Vielen Dank im Voraus für die Antwort.

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Für diesen Fall erhalte ich

p_a = p_n

(0,5x² - 0,1x + 10) / (1-r) = 0,2x² - 8x + 80

mit Gleichgewicht bei

\( x=\frac{80 r+\sqrt{14641-16640 r}-79}{4 r+6} \)

und zu maximieren wäre

T(r) = x r p

(die Formel für p(x(r)) steht oben am Anfang):

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Ich habe auch eine Frage: Wurde die Aufgabe mit diesen konkreten A- und N-Kurven gestellt oder geht es einfach um den prinzipiellen Lösungsweg, und in welchem Semester in welchem Lehrgang an welcher Bildungseinrichtung beschäftigt man sich damit?

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Hallo döschwo,

vielen Dank für die Antwort.

Wie sind Sie auf die (1-r) im Nenner der pa Funktion gekommen?

Soweit ich es verstanden habe, haben Sie bei der zu maximierenden Funktion T=x·r·p für x und p die Funktion eingesetzt. Welche p(x(r)) Funktion meinen Sie?

P.S.: Ich befinde mich im Vorbereitungskurs für den Studiengang VWL, dabei handelt es sich hierbei um eine Übungsaufgabe im Bereich Mathematik. Es wurden keine a-/n-Kurven gegeben, lediglich die oben genannten Informationen. Ich habe die Aufgabe sowohl grafisch zur Überprüfung, als auch rechnerisch gelöst. Ich denke es geht hier in erster Linie um einen richtigen Lösungsweg, dabei kann man Sich frei entscheiden, wie man vorgehen möchte. Durch den rechnerischen Weg konnte ich aber gleichzeitig meine Kenntnisse aus der Analysis anwenden und auffrischen. :)

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Auf den Nenner bin ich gekommen weil aus

p_a - r p_a = 0,5x² - 0,1x + 10

folgt

p_a = (0,5x² - 0,1x + 10) / (1-r)

Mit "Formel für p(x(r))" meinte ich, dass man x(r) einsetzen soll in p(x).

Und danke für die Antwort zur Aufgabenstellung. Es hat mich interessiert, weil ich denke die A- und N-Kurven / inversen Funktionen hat sich nicht ein Ökonom ausgedacht, aber auch nicht ein Mathematiker. "Vorbereitungskurs" passt gut dazu, da wirkte wohl ein Assistent.

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Genau, die gesamte Funktion T=x·r·p müsste dann lauten:

T= \( \frac{80r+\sqrt{14641-16640r}-79}{4r+6} \)·r(0,2(\( \frac{80r+\sqrt{14641-16640r}-79}{4r+6} \))²-8·\( \frac{80r\sqrt{14641-16640r}-79}{4r+6}+80 \))

Also für x die Funktion und für p die p_n(x(r)) eingesetzt. Also die ist Funktion T nur noch von r abhängig.
Aber wieso setzen wir das in die p_n Funktion ein? Wieso nicht in die p_a Funktion? Also was ist der Gedanke dahinter?

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Es erschien mir einfacher. Sollte aber beides gehen.

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Würde man für den anderen Fall die "neue" p_a = (0,5x²-0,1x+10/(1-r) nehmen und x(r) einsetzen?
Ich versuche da nämlich gerade beide Wege zu rechnen.

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Ich denke, dass ja. Und bewundere Deinen Antrieb, den Dingen auf den Grund zu gehen.

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Vielen Dank döschwo :)

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Gerne geschehen, und danke für das "beste Antwort". Es gibt in diesem Forum wenig Ökonomen, was vielleicht damit zu tun hat, dass man nichts verdienen kann.... Was man kriegen kann sind "Lounge-Sticker", die man mit den von den Fragestellern vergebenen Punkten kaufen kann. Was ökonomisch interessant ist, denn die erfüllen keines der Merkmale einer Währung. Echt, diesen Monat und nur diesen Monat gibt es den Spiegelei-Sticker. Den wollte ich unbedingt haben, aber die noch nicht eingelösten Punkte werden bis Ende Mai nicht ganz reichen. Tragisch, schliesslich habe ich schon den Kaffeemaschinen-Sticker.... :) Mit dem blauen Button "Für Nachhilfe buchen" weiter oben auf dieser Seite kann man mich nicht nur für Nachhilfe buchen, sondern es geht ein E-Mail-Fenster auf, so dass Du mich bei Bedarf nach weiterem ökonomischem Austausch auf diesem Weg erreichen kannst. Ich wünsche viel Erfolg im Vorkurs.

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Sehr interessante Thematik. Damit habe ich mich zwar noch nicht so tiefgründig befasst, aber es klingt auf jeden Fall plausibel. Wenn Sie so weiter machen, dann kommen in Zukunft mit Sicherheit einige Sticker dazu. Ich drücke Ihnen die Daumen. Falls weitere Fragen auftauchen, werde ich mich garantiert bei Ihnen melden. Vielen Dank dafür, dass weiß ich sehr zu schätzen. Bis dahin wünsche Ich Ihnen viel Erfolg und ein schönes Wochenende. :-)

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Es hat doch noch für den Spiegeleisticker gereicht. In Corona- und Gretazeiten ist nicht mehr "Rom sehen und sterben" angesagt, sondern "Spiegeleisticker bekommen und lachen"....