Rekursive Folge explizit darstellen.

Question

Aufgabe:

Hat jemand eine Idee, wie ich die folgende rekursive Folge in eine explizite Darstellung bringen kann und wie diese aussehen würde? Würde mich über Hilfe sehr freuen.

\(a_0:= 1\) und \(a_{n+1}:= 1 + \frac{1}{a_n} \)

LG

Mathcrack

Answer 1

Hallo:-)

Der erste/einfachste Weg ist einfach mal sich die ersten 10 Folgenglieder (oder meinetwegen mehr) anzusehen und ggf. mit etwas Umformarbeit ein Gesetz zu erahnen. Dann kannst du deine Vermutung aufstellen. Und da du dich im Definitionsbereich der natürlichen Zahlen aufhälst, empfiehlt sich ein induktiver Beweis.

Comments

Das versuche ich nun schon einige Zeit, nur dass ich noch keine gute Vermutung aufstellen konnte... Hast du ne Idee?

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Auf welche Zahlen kommst du so?

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a0 = 1

a1 = 2

a2 = 3/2

a3 = 5/3

a4 = 8/5

a5 = 13/8

a6 = 21/13

a7 = 34/21

Und da fällt mir schon auf wie das ungefähr abläuft und zwar ist der Zähler immer der Nenner + Zähler vom vorherigen Folgenglied und der Nenner ist der Zähler des vorherigen Glieds. Aber mir fällt nicht ein, wie man das mathematisch schreiben könnte...

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Und da fällt mir schon auf wie das ungefähr abläuft und zwar ist der Zähler immer der Nenner + Zähler vom vorherigen Folgenglied und der Nenner ist der Zähler des vorherigen Glieds.

Ja genau. Aber jetzt gucke die mal die Zähler und Nenner sperat an, also:

Zähler:   \(1,2,3,5,8,13,21,34,...\)

Nenner: \(1,1,2,3,5,8,13,21,...\)

Kennst du da vielleicht jetzt was? :D

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Oh ja also das ist jeweils Fibonacci, aber beim Zähler ist die erste 1 weggelassen. gibt es für Fibonacci eine explizite Darstellung?

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Korrekt! :D

aber beim Zähler ist die erste 1 weggelassen

Das macht doch nichts. Dann verschiebst du halt den Index bei der Fibonacci-Folge. Also \(a_n=\frac{f_{n+1}}{f_n}\)

gibt es für Fibonacci eine explizite Darstellung?

Ja, die gibt es:

$$ f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \left [\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right ] $$

Hier reicht aber die rekursive Darstellung von Fibonacci erstmal aus

$$ f_{n+2}=f_{n+1}+f_n,\quad f_0=f_1=1, $$

um deine Behauptung zu beweisen. Danach kannst du ja die explizite Form dafür verwenden. Wenn du sie aber noch nie gesehen hast (wie ich aus deiner Frage erkenne), musst du sie evtl beweisen. Die kann man sich auch mittels Eigenwerttheorie herleiten.