Rekursion explizit darstellen: x_(n)=2*x_(n-1) +n + 5, mit x_(0)= 2.

Question

Hallo ^^,

es geht um die Rekursionsgleichung x_n=2*x_n-1 +n + 5, mit x₀= 2.

zuerst habe ich versucht den allg. homogene Teil der Gleichung zu lösen. Das ergibt sich zu x=c*2ⁿ   

Jetzt zur speziellen Lösung, mit der ich Probleme habe. Es soll ja gelten, dass x_n = f +n+5. Also ein f soll gefunden werden, für genau das die Gleichung stimmt. Aber wie? Mir fehlt komplett der Ansatz.

Comments

Die Methode mit dem f kenne ich im Moment auch nicht so genau. 

Schau mal, was WA damit macht: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x_%28n%29%3D2*x_%28n-1%29+%2Bn+%2B+5

Vielleicht kommst du nun auf einen guten Ansatz. 

Um das C zu bestimmen genügt x_(0) = 2. 

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Danke für die Antwort. okay, laut WA besitzt die Gleichung linearen Charakter. Ich benutze also den Ansatz xn=dn +c

=> dn + c = xn
     xn =  2(d(n-1) + c) +n+5 = 2d(n-1) + 2c + n +5 = (2d+1)n - 2d +2c +5

Koeffizientenvergleich liefert:

2d+1=d    -> d= -1

-2d+2c+5 = c   ->  2 + 2c +5 = c  <=> c = -7

allg. Lösung

x_n = c * 2ⁿ -n -7, mit x₀ = 2 führt zu   x₀ = 2= c  - 7  =>  c=5

Ist das okay so?

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x₀ = 2= c  - 7  =>  c= 9

xn = 9*2^n - n - 7

Probe

x0 = 9 - 7 = 2

x1 = 18 - 1-7 = 10 

und mit x_n=2*x_n-1 +n + 5

x1 = 2*2 + 1 + 5 = 10  

beginnt zumindest mal richtig. 

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ups , peinlicher Fehler.
Ich versuche mir das mit den Rekursionsgleichungen näher zu bringen. Wie müsste ich also vorgehen, wenn die gleichung so aus sehen würde:

_n=2*x_n-1 + 5ⁿ, mit x₀= 2 ?

Wie komme ich da auf einen Ansatz, auch ohne WA?

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Wenn ich kein Theoriebuch oder sonstige Unterlagen hätte, würde ich da einfach mal WA nehmen. Solange, bis ich zuverlässige Muster kenne. 

Answer 1

Vorgänger mal 2 bedeutet explizit 2^n = pow(2,n)

Addition mit 5^n=pow(5,n) verändert sich nur minimal (Faktor, Index oder Offset)

also 2 Gleichungen ineinander einsetzen mit f(0)=2 und f(1)=9:

2^0*a+5^0*b=2,2^1*a+5^1*b=9 

ergibt a=1/3 , b= 5/3

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@N@B0]=2;i=1;@N@Bi]=@Bi-1]*2+@P5,i);a=i-1;@Ca]=@P2,a)/3+@P5,a)*5/3;@Ni%3E8@N0@N0@N#