Aloha :)
a) Im ersten Fall handelt es sich um eine Potenzreihe:$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n^3}{n!}\cdot x^n$$Ihre Konvergenz hängt vom gewählten Wert für \(x\) ab. Wir bestimmen den Konvergenzradius \(r\) von \(f(x)\), um zu erfahren, für welche \(|x|<r\) die Potenzreihe konvergiert:
$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{n^3}{n!}}{\frac{(n+1)^3}{(n+1)!}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n^3}{n!}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+1)^3}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^3}{(n+1)^3}\cdot\frac{(n+1)!}{n!}\right)$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(\frac{n}{n+1}\right)^3\cdot (n+1)\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^3\cdot (n+1)\right)=\infty$$
Der Konvergenzradius ist also unendlich, d.h. die Potenzreihe konvergiert für alle \(x\in\mathbb R\).
b) Im zweiten Fall haben wir keine \(x\)-Abhängigkeit. Die Summanden können wir wie folgt abschätzen:$$-1\le\sin n\le 1\quad;\quad 0\le\cos^2n\le1\quad\implies\quad-1\le\sin n+\cos^2n\le 2$$Für die zu betrachtende Summe bedeutet das:$$-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}\le\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sin n+\cos^2 n}{n^3}\le2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}$$
Da die Summe \(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}\) konvergiert, existiert die untere und die obere Schranke, sodass auch die zu betrachtende Summe konvergieren muss.
