Relative Extrema; Weiß nicht wie es weiter geht.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle relativen Extrema von f(x) = sin(x) - 1/2*x, die im Intervall 0 ≤ x < 2π liegen.

Problem/Ansatz:

Hi Leute,

leider weiß ich nicht genau wie man eine solche Aufgabe angehen soll. Ich habe die erste Ableitung gemacht und die = 0 gesetzt. f´(x)= cos(x)-1/2 und dann kam bei mir x= (1/3)π raus. Aber was mache ich dann? Wenn ich die zweite Ableitung mache kommt f´´(x)= -sin(x) raus.

Answer 1

f '(x) = cosx- 1/2

cosx= 1/2

Der cos ist 1/2 bei 60° = pi/3 und 300° = 5/3*pi

Setze die Werte in f ''(x) ein um zu bestimmen, ob ein Max. oder Min. vorliegt.

Comments

300° = 5/6*pi

300° = 5/3 π

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Danke, Fehler ist korrigiert

Answer 2

\(f(x) = sin(x) - 0,5*x\)

\(f´(x) = cos(x) - 0,5\)

\( cos(x) - 0,5=0\)

\( cos(x)=0,5\)

\(x= \frac{π}{3}\)      \(f(\frac{π}{3}) = sin(\frac{π}{3}) - \frac{π}{6}=0,5π*\sqrt{3}-\frac{π}{6}\)

Art des Extremwertes:

\(f´´(x) = -sin(x) \)

\(f´´(\frac{π}{3}) = -sin(\frac{π}{3})<0    \)  Maximum

Comments

Dann fehlt noch das relative Minimum bei

x₂  =  2π - π/3  =  5/3 π  ∈  [0 ; 2π[

Answer 3

Wenn ich die zweite Ableitung mache kommt f´´(x)= -sin(x) raus.

und f ' ' (  (1/3)π ) < 0, also rel. Max.

bei (1/3)π.

Dann musst du noch die Randwerte überprüfen.

Answer 4

Hallo,

cos(x)-0,5 (blaue Kurve) hat im betrachteten Intervall zwei Nullstellen. Es gibt also zwei Punkte mit waagerechter Tangente. Mit der zweiten Ableitung siehst du, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt und mit f(x) rechnest du die y-Werte aus.

Außerdem ist (0|0) ein Randextremum.

:-)