Wachstumsrechnung: Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion, die die Einwohnerzahl N(t)

Question

Aufgabe:

1 Die Einwohnerzahl eines Landes beträgt 20 Millionen Einwohner. Sie wächst mit
der Geschwindigkeit
N´(t) = 0,24 e^0,024t (t: Jahre, N´(t): Mio./Jahr).
(a) Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion, die die Einwohnerzahl N(t) (in
Mio.) beschreibt.
(b) Wie viele Einwohner hat das Land nach 20 Jahren?
(c) Wann hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt?

Problem/Ansatz:

ich habe bei dieser Aufgabe ein paar Probleme, bzw. bin mir bei meinen Ansätzen nicht sicher.

a) hier habe ich abgeleitet und dann c bestimmt:

n(t)= 10e^0,024t+c

n(0) = 20

20 = 10e^0,024*0+c

10 = c

somit habe ich: 10e^0,024t+10 erechnet, stimmt das?

b) Hier muss ich für das t doch 20 einsetzen oder?

n(20) = 10e^0,024*20+t

n(20) = 10*^e0,48+10

hier weiss ich dann leider nicht weiter...

c)hier müsste ich doch

40 = 10e^0,024t+10 ausrechnen oder?

Vielen Dank schonmal im Voraus, ich hoffe jemand kann mir helfen

Answer 1

40 = 10*e^0,024*t+10 |-10

30 = 10*e^0,024*t|:10

e^0,024*t=3|ln

0,024*t*ln e=ln3      mit ln e =1

t=\( \frac{ln3}{0,024} \)≈45,78

Answer 2

a) hier habe ich abgeleitet

Du hast nicht abgeleitet, sondern aufgeleitet.

somit habe ich: 10e^0,024t+10 erechnet

Stimmt.

b) Hier muss ich für das t doch 20 einsetzen oder?

Ja.

hier weiss ich dann leider nicht weiter...

In den Taschenrechner eintippen.

40 = 10e^0,024t+10 ausrechnen

Ja. Oder genauer gesagt, die Gleichung lösen.