beschreibe die Flugkurve des Balles durch eine Funktionsgleichung und ermittle die Abwurfhöhe sowie due Wurfweite

Question

Aufgabe:

Ein Ball wird geworfen, folgende Werte wurden aufgezeichnet=

x	10	20	30	40
y (f(x))	6,3	9	9,2	7,9

1 beschreibe die Flugkurve des Balles durch eine Funktionsgleichung und ermittle die Abwurfhöhe sowie die Wurfweite

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider gar nicht wie ich die Aufgabe lösen soll. Ich habe es erst mit einem Gleichungssystem versucht, aber geklappt hat das nicht. für Hilfe :).

Answer 1

Ein geworfener Ball fliegt parabelförmig, das ist Physik. Ausser er habe einen Antrieb eingebaut oder es gäbe keine Schwerkraft. Es geht also um eine quadratische Gleichung

y = ax² + bx + c

Das Gleichungssystem für die drei Parameter a, b und c (mit den vier gegebenen x- und y-Werten in die quadratische Gleichung eingesetzt) ist überbestimmt und nicht lösbar:

\( 6,3=a \cdot 10^{2}+b \cdot 0+c \)

\( 9=a \cdot 20^{2}+b \cdot 20+c \)

\( 9,2=a \cdot 30^{2}+b \cdot 30+c \)

\( 7,9=a \dot 40^{2}+b \cdot 40+c \)

Man erkennt, dass ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen in drei Unbekannten, entsprechend einer Parabel definiert durch vier anstatt drei Punkte, überbestimmt sein kann.

Man muss also mit der Methode kleinster Quadrate die drei Parameter so finden, dass die Gleichung möglichst gut zu den vier Punkten passt. Zu diesem Zweck minimiert man den Wert von \( \left(6,3-\left(a 10^{2}+b 10+c\right)\right)^{2}+\left(9-\left(a 20^{2}+b 20+c\right)\right)^{2}+ \left(9,2-\left(a 30^{2}+b 30+c\right)\right)^{2}+\left(7,9-\left(a 40^{2}+b 40+c\right)\right)^{2} \)

Das Minimum, man kann es auch mit der Regressions-Funktionalität des Taschenrechners finden, ist bei

\(a= -\frac{1}{100}, \quad b= \frac{11}{20}, \quad c= \frac{37}{20} \quad \) d.h. die Funktion lautet

y = -\( \frac{1}{100} \) x² + \( \frac{11}{20} \) x + \( \frac{37}{20} \)


Um die Abwurfhöhe sowie die Wurfweite zu ermitteln, setzt man einmal x = 0 in die Funktion ein und findet einmal die Nullstelle der Funktion.

Comments

Ein geworfener Ball fliegt parabelförmig, das ist Physik.

Ja, aber u.a auch, wenn man Luftreibung vernachlässigt. Nur dann lässt sich unter dem Einfluss der Schwerkraft die Flugbahn durch einen quadratischen Ausdruck exakt beschreiben. Störgrößen werden nur dann ignoriert, wenn sich bei der Idealisierung von einem physikalischen Vorgang nur kleine Unterschiede zur Realität feststellen lassen.

Ansonsten passt hier alles weitere. :-)

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Das habe ich weggelassen. Ebenso wie den Zusammenstoss mit anderen fliegenden Objekten, z.B. Hummeln oder hoch springenden Fröschen.

Es ist allemal richtiger als das "Probier doch mal den Ansatz mit einem kubischen Ausdruck" was früher auf dieser Seite hier zu lesen war.

Dass der Luftwiderstand relevant sein kann bei ballistischen Parabeln, hat ein gewisser Leonhard E. aus meiner Geburtsstadt im Jahr 1745 unter dem Titel "Neue Grundsätze der Artillerie" publiziert. Er bezog sich dabei aber auf Kanonenkugeln, die waren schon damals deutlich schneller als geworfene Bälle. Darum ritt Münchhausen lieber auf Kanonenkugeln als auf Bällen. Der Leonhard scheint recht gehabt zu haben, nicht nur darin, darum steht sein Familienname heute noch in jeder besseren Formelsammlung.

Answer 2

beschreibe die Flugkurve des Balles durch eine Funktionsgleichung

Wurfparabel, also quadratische Funktion

        \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 

folgende Werte wurden aufgezeichnet

x	10	20	30	40
y (f(x))	6,3	9	9,2	7,9

Gleichungssystem aufstellen indem die Punkte in obige Gleichung eingesetzt werden.

Gleichungssystem lösen.

Lösung in obige Gleichung einsetzen.

Comments

wow...

anscheinend wurde meine Frage nicht gelesen, trotzdem danke.

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Ist überbestimmt.

Answer 3

Hallo :-)

Eine quadratische Funktion reicht nicht aus, da das System überbestimmt und noch dazu hier nicht lösbar ist. Kubischen Ausdruck \(p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) ist wie ich sehe auch ungeeignet, da die Kurve ja wieder ansteigt, was hier wenig Sinn ergibt.

Fürs erste nimmt man ja eine quadratische Funktion als Ansatz einer Wurfbahn. Entweder hat man beim Erstellen der Aufgabe einen Tippfehler gemacht, oder es soll zb diskutiert werden, inwieweit hier die Wahl dreier Punkte das Ergbnis der Funktion beeinflussen kann.

Ansonsten kann man auch hier eine quadratische Funktion bestimmen, sodass diese möglichst gering von den Tabellenwerten abweicht. Stichwort Regression.