Bestimme den Winkel, den der Vektor a mit der Koordinaten-Ebene xy einschließt

Question

Aufgabe:

Bestimme den Winkel, den der Vektor a mit der Koordinaten-Ebene xy einschließt

Problem/Ansatz:

Vektor a = (1/3/-2)

Answer 1

Bestimme den Winkel zwischen (1/3/-2) (das ist $\vec{a}$) und (1/3/0) (das ist die Projektion von $\vec{a}$ auf die xy-Ebene).

Comments

Das kann man mit dem Skalarprodukt berechnen als

$\arccos \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} \,=\, a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \arccos\sqrt{\frac{5}{7}}$

oder einfacher ohne Skalarprodukt mit $\arctan(\frac{2}{\sqrt{1^2+3^2}})$.

Die Lösung ist 32,3...°

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Wer lieber Analysis macht und weniger gerne Geometrie, und sich darum nicht überlegen will wie der auf die Ebene projizierte Vektor aussieht, kann dessen Koordinaten auch unbekannt lassen und den Winkel minimieren, da der Winkel ja minimal wird, wenn er mit dem Vektor und seinem projizierten Vektor gebildet worden ist: