Auflösung der Lösungsformel (3. Fallunterscheidung)

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von b der Funktionenschar fb(x) = 2x²+bx+8 (b∈ℝ).
Problem: Auflösung der Lösungsformel bei der 3. Fallunterscheidung.
Ansatz:
Die Diskriminantennullstellen die ich berechnet habe liegen bei -8 und 8.
Jetzt wollte ich den 3. Fall D > 0 der Fallunterscheidung überprüfen. Ich komme allerdings ab einen bestimmten Punkt mit der Auflösung der Lösungsformel nicht weiter.
Aufgestellt hatte ich: x1/2 = \( \frac{-b \sqrt{b2- 64}}{2•2} \)
Aufgelöst hatte ich noch: \( \frac{-b}{4} \) \( \frac{\sqrt{b2-64}}{4} \)

Danach kam ich nicht weiter und sah in der Lösung nach, welche anzeigte: \( \frac{-b}{4} \) \( \frac{\sqrt{b2-64}}{16} \)
Woher kommt jetzt die 16?
Weiterhin wurde nun vollständig wie folgt aufgelöst:
x₁ = 1-\( \sqrt{\frac{b-8}{4}} \) und x₂ = 1+\( \sqrt{\frac{b-8}{4}} \)
Woher kommt die 1 vor dem Bruch? Und warum wurde b², 64 und 16 jeweils gewurzelt, wird aber weiterhin bei x1 und x2 unter einer Wurzel geschrieben?
Es wäre wirklich nett, wenn mir jemand helfen könnte!

Answer 1

Deine Angaben enthalten einige Fehler.

Es fehlt mehrfach ±.

Die merkwürdige 16 muss unter der Wurzel stehen.

Und aus Differenzen die Wurzel zu ziehen ist auch falsch.

Meine Lösung:

2x²+bx+8=0

x²+b/2 *x +4 =0

x_12=-b/4 ± √(b²/16 - 64/16)

= -b/4 ± √(b²-64)/4

Die Diskriminante ist x²-64.

Für x=±8 ist D=0 und x=-2 bzw. x=+2.

Für -8<x<+8 ist D<0; keine Nullstelle.

Für |x|>8 ist D>0; zwei Nullstellen.

:-)

Answer 2

"Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von b der Funktionenschar fb(x) = 2x²+bx+8 (b∈ℝ)."

Ich zeige folgenden Weg zur Lösung: (quadratische Ergänzung)

2x²+bx+8=0|-8

2x²+bx=-8|:2

x²+0,5b *x=-4|+q.E. (0,25b)^2=0,0625b^2

x²+0,5b *x+0,0625b^2=-4+0,0625b^2

(x+0,25b)^2=-4+0,0625b^2|\( \sqrt{} \)

1.)x+0,25b=\( \sqrt{-4+0,0625b^2} \)

x₁=-0,25b+\( \sqrt{-4+0,0625b^2} \)

2.)x+0,25b=-\( \sqrt{-4+0,0625b^2} \)

x₂=-0,25b-\( \sqrt{-4+0,0625b^2} \)