Warum kommen bei der Integralrechnung unterschiedliche Werte raus, wenn man einmal mit der Differnezfunktion rechnet …

Question

Aufgabe:

Warum kommen bei der Integralrechnung unterschiedliche Werte raus, wenn man einmal mit der Differnezfunktion rechnet und einmal ohne?

Problem/Ansatz:

Gegeben sind die Funktionen f(x)= e^x und g(x)= e^(1-x). Diese begrenzen gemeinsam mit der x-Achse und den beiden senkrechten Geraden x=-1 und x=1 ein Flächenstück. Skizzieren Sie dieses und berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

Soo, Ich bin gerade so verwirrt.

Bei der Aufgabe habe ich zwei Möglichkeiten probiert für die Flächeninhaltsberechnung.

Einmal mit der Differenzfunktion und einmal ohne und es kommt halt was komplett anderes raus als mit der Differenzfunktion.

Ohne Differenzfunktion:

Erste Fläche von -1 zum Schnittpunkt:

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) e^x dx mit den Integralgrenzen -1 und 0,5 (Schnittpunkt).

Es kommt raus e^0,5 - e^-1 = 1,28

Zweite Fläche vom Schnittpunkt zu 1:

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) e^(1-x) dx mit den Integralgrenzen 0,5 und 1. Es kommt raus 0,64.

A1+A2= 1,92 FE

Mit Differnezfunktion:

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) f(x)-g(x) dx mit den Integralgrenzen -1 und 1. Es kommt raus e^x+e^(1-x) = 4,03 FE

Was habe ich denn jetzt falsch gemacht? Und ist es egal, ob man f(x)- g(x) oder g(x)-f(x) sagt?

Answer 1

Du hast zwei unterschiedliche Flächeninhalte ausgerechnet:

Comments

!

Muss man bei einer Differenzfunktion immer f(x) - g(x) sagen oder geht auch g(x) - f(x)?

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Es kommt darauf an, welche Funktion wo grösser ist. Das was Du mit der Differenzenfunktion ausgerechnet hast war nicht die Summe der beiden grünen Flächeninhalte meiner zweiten Skizze, sondern deren Differenz.

Es gilt

\( \int \limits_{-1}^{0.5}\left(e^{1-x}-e^{x}\right) d x+\int \limits_{0.5}^{1}\left(e^{x}-e^{1-x}\right) d x≈4.88033 \)

und

\( \int \limits_{-1}^{0.5}\left(e^{1-x}-e^{x}\right) d x-\int \limits_{0.5}^{1}\left(e^{x}-e^{1-x}\right) d x≈4.03865 \)

Answer 2

Mit der Differenzfunktion berechnest Du die Fläche zwischen den beiden Funktionen. Die ist hier aber nicht gefragt !!!

Comments

Aber, wenn ich die Diffenezfunktion bilde und die Grenzen von -1 zu 1 nehme, dann wird doch genau der selbe Flächeninhalt berechnet oder was meinen Sie mit Flächeninhalt zwischen den Funktionen?

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Hallo

döschwo hat dir doch in den 2 geposteten Graphiken gezeigt, dass du  mit der ersten Rechnung die obere grüne Fläche berechnet hast, mit der zweiten die Differenz der linken grünen und der rechten grünen, also völlig verschiedene Flächen .

lul

Answer 3

Hallo

im ersten Teil hast du richtig gerechnet.

im zweiten Teil nicht, sieh dir die Funktionen an: mit  g-f zwischen -1 und 0.5 bestimmst du die Fläche oberhalb f unterhalb g, die nicht von der x- Achse begrenzt wird, davon wird dann abgezogen das Stück unterhalb f oberhalb g bis  x=1

also nicht die gesuchte Fläche. es war ja auch nicht nach der Fläche zwischen den Graphen gefragt, sondern nach der zw. x- Achse und Graphen.

(wenn nach der Fläche zwischen den Graphen gefragt wäre, musst du auch bis zum Schnittpunkt einzeln rechnen, also einmal f-g, einmal g-f, )

übrigens das Ergebnis des Integrals ist nicht e^x+e^(1-x) sondern e^x-e^(1-x)

Gruß lul

Comments

Das heißt ich kann nicht f(x) - g(x) von -1 zu 1 nehmen, wenn ich die Fläche zwischen den Grafen berechnen möchte, abgesehen von dem Gefragten in der Aufgabe?

Und ich soll immer gucken, welcher Graf über den anderen liegt, z.B. beim ersten Flächeninhalt sagt ich f-g weil f über g ist und bei zweiten g-f weil g oberhalb liegt, richtig?

Und wenn ich die Differenzfunktion bilde, dann kommt e^x - e^(1-x), wenn ich das integriere, dann bleibt e^x und -e^(1-x) wird zu + weil, wenn man sagt: 1÷a × e^ax+b

Answer 4

Gegeben sind die Funktionen f(x)=\( e^{x} \) und g(x)= \( e^{1-x} \) .

Diese begrenzen gemeinsam mit der x-Achse und den beiden senkrechten Geraden x=-1 und x=1 ein Flächenstück. Skizzieren Sie dieses und berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

Schnittpunkt von beiden Funktionen:

\( e^{x} \)=\( e^{1-x} \)

x=1-x  →x=0,5

A₁=\( \int\limits_{-1}^{0,5} \) \( e^{x} \) dx≈1,28

A₂=\( \int\limits_{0,5}^{1} \)\( e^{1-x} \) dx≈0,65

A=1,28+0,65=1,93

Differenzfunktion:

d(x)=\( e^{x} \) -\( e^{1-x} \)

A=\( \int\limits_{-1}^{1} \)(\( e^{x} \) - \( e^{1-x} \))dx≈-4,04

Der Unterschied ist so zu erklären:

d(x)=\( e^{x} \) -\( e^{1-x} \) ist eine ganz andere Funktion: