Für welche Werte von k hat die Funktion Extremstellen?

Question

Aufgabe:

Für eine Schar von Funktionen \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}} \) mit \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}}(\mathrm{k} \in \mathbb{R} ; \) a und \( \mathrm{b} \) hängen von \( \mathrm{k} \) ab) gilt: \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}}(1)=1 ; \mathrm{f}_{\mathrm{k}}^{\prime}(1)=\mathrm{k} \). Bestimme den Funktionsterm von \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}} \).

Für welche reellen Zahlen k hat die Funktion \( f_{k} \) Extremstellen? Bestimme gegebenenfalls die Kurve, auf der die Hochpunkte bzw. die Tiefpunkte liegen.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe... Ich verstehe das so, dass ich a und b mithilfe von k definieren und in die Gleichung einsetzen soll.

Mein Lösungsansatz (auch nicht sicher, ob richtig):

fk(x)=ax+b/x
f‘k(x)=a-b/x²
fk(1)=a+b=1
f‘k(1)=a-b=k

b=1-a
b=a-k
1-a=a-k
1+k=2a
a=1/2+k/2
b=1-(1/2+k/2)=1/2-k/2

Jetzt steht in der Aufgabe, ich soll "Den Funktionsterm von f_k" bestimmen, der Part sieht bei mir so aus:

fk(x)=(1/2+k/2)x+(1/2-k/2)/x=x/2+kx/2+1/2x-k/2x=x(1+k)/2+(1-k)/(2x)

Und ab der Stelle komme ich nicht weiter.

Answer 1

f_k(x)=x(1+k)/2+(1-k)/(2x) ist richtig.

f '(x)=\( \frac{k-1}{2x^2} \)+\( \frac{k+1}{2} \).

Nullstellen der Ableitung für x_1/2=±\( \frac{\sqrt{k-1}}{\sqrt{-k-1}} \)=±\( \sqrt{\frac{k-1}{-k-1}} \)

Wenn ist die Wurzel reell?

Comments

Danke für den Ansatz, am Ende kam bei mir das hier raus:

f‘k(x)=1/2+k/2-1/2x²+k/2x²
(1+k)/2+(-1+k)/(2x²)=0
(1+k)/2=(1-k)/(2x²) |*2x²
x²(1+k)=1-k |/(1+k)
x²=(1-k)/(1+k)
x1=(√1+k)/(√1-k)
x2=-(√1+k)/(√1-k)
nur reell für 1≥k≥-1
Extrempunkte nur für 1≥k≥-1

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Rs Antwort muss falsch sein, denn bis   x²=(1-k)/(1+k)  ist alles richtig,
in Extrempunkte nur für 1≥k≥-1   musst du allerdings die beiden ≥  durch >  ersetzen.