fa(x)=x^3-3a^2x+5 Extrempunkte und welche Werte von a auf x-Achse

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa(x)=x³-3a²x+5  (a∈ℝ, a>0)

Die Abbildung zeigt die Funktionen fa für a= 0,5 ; a= 1 und a = 1,5

b) berechne die Extrempunkte des Graphen von fa in Abhängigkeit von a

c) für welche Werte von a liegt einer der Extrempunkte auf der x-Achse

Problem/Ansatz:

Also b) bekomme ich bis zu der hinreichenden Bedingung hin:

fa'(x)= 3x²-3a²

fa''(x)= 6x

1.) Notw Bed fa'(x)=0

x1= a ∧ x2= -a

2.) Hinr Bed fa"(x) ≠ 0

fa"(a)= 6a -> a>0 TP ; a<0 HP

fa"(-a)= 6(-a) -> a>0 HP ; a<0 TP

Und wie rechnet man dann nach den Bedingungen die y-Koordinate aus?

Bei c) stehe komplett auf dem Schlauch:/

Ich hoffe mir kann jemand helfen!

LG Gina

Answer 1

Hallo Gin,a

fa"(a)= 6a -> a>0 TP ; a<0 HP

fa"(-a)= 6(-a) -> a>0 HP ; a<0 TP

Da laut Vorgabe a größer als null sein soll, ist bei a ein Tiefpunkt und bei -a ein Hochpunkt.

Und wie rechnet man dann nach den Bedingungen die y-Koordinate aus?

Du setzt a bzw. -a in die Ausgangsgleichung ein.

c) für welche Werte von a liegt einer der Extrempunkte auf der x-Achse

Extrempunkt auf der x-Achse bedeutet f(a) = 0

Du setzt also z.B. die y-Koordinate von a = 0 und löst nach a auf.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank!!

fa(a)= a³-3a²a+5

Kann ich das so auflösen?:

fa(a)= 2a³ +2

Und bei dem auch?:

fa(-a)=(-a)³ -3a²(-a)+5

fa(-a)= -a+3a³+5

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Bei f(a) steht ein - vor der 2 und hinten +5

f(-a) kannst du noch zusammenfassen.

$$f(a)=-2a^3+5\\ f(-a)=2a^3+5$$

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Okay, aber wo bleibt dann die 3 von 3a³

Dachte man rechnet dann: -3 +5= 2

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$$f(a)=a^3-3a^2\cdot a+5=a^3-3a^3+5=-2a^3+5$$

jetzt klar?

Hättest du x - 3x wären das auch -2x

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Ja, stimmt, danke. Habe ich dann auch gecheckt;) Vielen, vielen Dank!!!!!<3

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Sorry, dass ich dich mit so vielen Fragen zu bombardiere xD

Kannst du vielleicht einmal nachrechnen, ob a≈-1,357 bei der c) für f(a) stimmt? Wäre mega lieb.

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Du kannst mich so lange mit Fragen bombardieren, bis du dir sicher bist und alles verstanden hast.

Ich komme auf + 1,357

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Das ist nett:) danke.

Ah ja stimmt. Sehe meinen Fehler. Muss ich das gleiche Spiel auch für -a machen?

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Da nur nach einem der Extrempunkte gefragt ist, kannst du dir das sparen.