Aloha :)
Die Extrempunkte kannst du bei denjenigen \(x\) finden, wo die Ableitung zu null wird. Zur Prüfung, ob dort wikrlich ein Extermum vorliegt benötigst du die zweite Ableitung. Wir brauchen also zuerst die Ableitungen:$$f(x)=\frac{1}{a}x^2-4x\quad;\quad a\ne0$$$$f'(x)=\frac{2}{a}x-4$$$$f''(x)=\frac{2}{a}$$
Jetzt bestimmen wir die Kandidaten für Extrema:$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{2}{a}x-4\implies\frac{2}{a}x=4\implies x=4\cdot\frac{a}{2}=2a$$
Der y-Wert des möglichen Extremums ist:$$f(2a)=\frac{1}{a}(2a)^2-4\cdot 2a=\frac{4a^2}{a}-8a=4a-8a=-4a$$Der kritische Punkt ist also \(E(2a;-4a)\).
Die zweite Ableitung ist unabhängig von \(x\), nämlich \(f''(x)=\frac{2}{a}\). Falls \(a<0\) ist, wird \(f''(x)<0\), also liegt bei \(x=2a\) ein Maximum vor. Falls \(a>0\) ist, wird \(f''(x)>0\), also liegt bei \(x=2a\) ein Minimum vor.
Fassen wir zusamen:$$E(2a;-4a) \text{ist ein }\left\{\begin{array}{l}\text{Maximum, falls }a<0\\\text{Minimum, falls }\;a>0\\\end{array}\right.$$
