Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen fa in Abhängigkeit von a. am beispiel erklären

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen fa in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a liegt einer der Extrempunkte auf der x-Achse.

F(x)=1/4x^4-a/4x^2

Problem/Ansatz:

Wie genau berechnet man mit der Variable a hier die extremstellen?

Answer 1

Extrempunkte fa'(x) = 0

x^3 - a/2·x = x·(x^2 - a/2) = 0 → x = 0 ∨ x = ± √(a/2)

f(0) = 0 → für a <= 0 TP(0 | 0) für a > 0 HP(0 | 0)
f(± √(a/2)) = - 1/16·a^2 → für a > 0 TP(± √(a/2) | - 1/16·a^2)

Answer 2

Ich hoffe das es so heißen soll
f (x) = 1/4 * x^4 - a/4 * x^2
f ´ (x) = x^3 - a/2 * x
f ´´ (x) = 3*x^2 - a/2

Stellen mit waagerechter Tangente
f ´( x ) =  x^3 - a/2 * x = 0
f ´( x ) =  x * ( x^2 - a/2 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
x^2 - a/2 = 0
x^2 = a/2
x = + √ ( a/2)
und
x = - √ ( a/2)

Stellen mit   f(x) = 0
f (0) = 1/4 * 0^4 - a/4 * 0^2  = 0
Krümmung nachsehen f ´´ ( x ) ≠ 0
f ´´ (0) = 3*0^2 - a/2  = -a/2
Rechtskrümmung bei a > 0
Hochpunkt

( 0 | 0 ) liegt auf der x-Achse
und ist ein Extrempunkt
a ist beliebig
graphisch überprüft

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