Finden Sie alle Lösungen x \in \mathbb{Z}_{7} mit:

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle Lösungen \( x \in \mathbb{Z}_{7} \) mit: $$ 4 x+5=3(\bmod 7) $$

Problem/Ansatz:

Z7 wäre = {0,1,2,3...6}

Wie gehe ich am besten vor?

Also würde erstmal:

4x + 5 = 3 | -5

4x = -2 | :4

x = - 2/4 (mod 7) wäre nicht in Z7

Wie komme ich zu der "richtigen Lösung"?

Answer 1

4x = -2 | :4

Division durch eine Zahl ist Multiplikation mit dem Kehrwert (ungefähr seit Klasse 6 oder 7).

Division durch eine Zahl ist Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen (ungefähr seit man zu erwachsen ist um das Wort Kehrwert zu verwenden, bedeutet aber im Wesentlichen das gleiche wie oben).

Das multiplikative Inverse von 4 in \(\mathbb{Z}_7\) ist \(2\), weil

        \(2\cdot 4 = 8\equiv 1\mod 7\).

Also

        \(\begin{aligned}4x &= -2&&|\cdot 2\\x&=-4&&\end{aligned} \)

In komplizierteren Fällen (z.B. \(\mathbb{Z}_{43}\)) kannst du das multiplikative Inverse mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus bestimmen.

Comments

Vielen Dank. Leider bin ich nicht wie viele "direkt von der Schule" - ich habe meinen Meister gemacht und war jahrelang berufstätig. Da gehen auch dann mal über die Jahre Sachen unter, die Andere als "selbstverständlich" ansehen.

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Klasse 6 oder 7 ist sogar für die meisten Schulabgänger zu lange her, als dass sie sich noch daran erinnern könnten, dass Division durch eine Zahl Multiplikation mit dem Kehrwert ist.