Unbestimmtes Integral: A(p) = ∫8p + 5*√(5p+1)dp

Question

Wie kommt man vom Integral auf das Ergebnis?

\( A(p)=\int 8 p+5 * \sqrt{5 p+1}=4 p^{2}+\frac{2}{3}(5 p+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3} \)

Answer 1

A(p) = ∫8p + 5*√(5p+1)dp = ∫8p dp + ∫ 5*√(5p+1)dp = 4p^2 + ∫ 5*√(5p+1)dp

∫ 5*√(5p+1)dp mit Substitution (5p+1) = u   ⇒ du/dp = 5   ⇒ dp = du/5

∫ 5*√u du/5 = 2/3 * u^3/2 + c

Also:

4p^2 + 2/3 * (5p+1)^3/2 + c

Setze c = -2/3

Womöglich wurde  c mit einer Anfangsbedingung oder ähnlichem berechnet.

Damit folgt:

A(p) = 4p^2 + 2/3 * (5p+1)^3/2 - 2/3

Comments

mir ist nicht ganz schlüssig, woher die 2/3 bzw. 3/2 herkommen!

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√u = u^1/2

∫u^1/2du = 2/3 * u^3/2

Integrationsregel: ∫ x^n dx = 1/(n+1) * x⁽ⁿ⁺¹⁾

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alles klar, jetzt schnaggelts langsam, vielen dank! :)

Answer 2

okay, dass 8p zu 4p² wird verstehst du  oder? Der Kollege, der sich unter der Wurzel versteckt ist leicht unsympatisch, daher kann man den wegsubstituieren indem man y=5p+1 einsetzt, dann ist dy=5dp also dp= dy/5

Nun hast du im zweiten Integral √y dy = y^1/2dy → 2/3  y^3/2 . Nun setzen wir wieder y=5p+1 ein und das gewuenschte Ergebnis kommt raus. (-2/3 kann nicht stimmen bzw. nicht einfach so stehen, muss ansonsten ein Anfangswert sein, wahrscheinlich integrierst du von 0 bis p weil nur dann klappt es mit -2/3)