Ungleichung: Von x(x-3)<0 zu (x<0 ∧ x>3 ) ∨ (x>0 ∧ x< 3) und zu 0<x<3. Warum?

Question

Zu lösen ist die Ungleichung  lx-2l * lx-1I < 2

Ich habe nur zum Fall 1 eine Frage: Welche Gedanken muss ich mir machen, um den folgenden dick geschriebene Zwischenschritt zu verstehen:

 

Fall1: x≥2. Dann gilt: (x-2)*(x-1) < 2

⇔ x² -3x + 2 < 2

⇔ x(x-3) < 0

⇔ (x < 0 ∧ x > 3 ) ∨ (x > 0 ∧ x < 3 )             Anmerkung 1

⇔ 0 < x < 3                                                                Anmerkung 2

 

Anmerkung 1:

Mein Gedanke: Wenn ich x(x-3) <0 auflösen will, muss ich durch (x-3) dividieren. An dieser Stelle erfolgt wieder eine Fallunterscheidung. Entweder ist (x-3) ≥ 0 oder < 0.   Dann erhalte ich auch die o.g. dick geschriebene Äquivalenz.

 

Anmerkung 2:

Hier versteh ich nicht wie man aus Anmerkung 1 auf Anmerkung 2 kommt?

Answer 1

⇔ x(x-3) < 0

einer der Faktoren muss grösser als 0 und der andere kleiner als 0 sein.

Daher:

⇔ (x < 0 ∧ x > 3 ) ∨ (x > 0 ∧ x < 3 )             Anmerkung 1

Das Erste: x kleiner als 0 und x grösser als 3 ist unmöglich.

Es bleibt nur: x grösser als 0 und kleiner als 3:

⇔ 0 < x < 3                                                                Anmerkung 2

Comments

Nachfragen bitte jeweils als Kommentar zur ursprünglichen Frage.

Kann ja sein, dass der nächste auch über diesen Schritt stolpert. Hier nun bitte einfach die beiden Fragen verlinken.

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Und schon versteh ich Fall 2 auch nicht:(

 

Also wenn 1 ≤ x ≤ 2. Dann gilt:

x²-3x + 4 >0

x² -3x > -4

⇔ (x-3/2)² > -7/4 ?

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Wo ist der Link?

Stichwort: Quadratische Ergänzung.

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https://www.mathelounge.de/84970/absolutbetrag-zwischenschritt-nicht-verstanden