Aufgabe:
Untersuchen Sie die Folge \( \left(z_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{C} \) jeweils auf Konvergenz und geben Sie ggf. den Grenzwert an für
(a) \( \quad z_{k}:=\sqrt{k+1}-\sqrt{k} \),
(b) \( \quad z_{k}:=\frac{2^{k}+(-3)^{k}}{(-2)^{k}+3^{k}} \),
(c) \( \quad z_{k}:=\frac{k^{2}}{k^{2}+2 k+2} \),
(d) \( \quad z_{k}:=\sqrt[k]{k} \),
(e) \( z_{k}:=\frac{i^{k}}{i+k^{2}} \),
(f) \( \quad z_{k}:=\frac{i^{k}(1+k)}{(2+k)} \).
Hinweis: Betrachten Sie bei \( (d) \) die Folge \( \left(w_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{C} \) mit \( w_{k}:=z_{k}-1 \) für \( k \in \mathbb{N} \), berechnen Sie \( \left(1+w_{k}\right)^{k}=z_{k}^{k}=k \) mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes und schätzen Sie damit \( w_{k} \) nach oben ab. Sie können (ohne Beweis) verwenden, dass \( \left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge ist.
Problem/Ansatz:
bitte bitte die vollständige Antworten brauche ich
