Aloha :)
Gegeben ist:$$F(x;y)=7x^2+2xy+9y^2\quad;\quad \vec a=(2;3)^T\quad;\quad x,y\ge0$$
zu a) Da das Niveau von \(F\) beibehalten werden soll, ist \(dF=0\):
$$0\stackrel!=dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=(14x+2y)dx+(2x+18y)dy\implies$$$$(14x+2y)dx=-(2x+18y)dy\implies dx=-\frac{2x+18y}{14x+2y}dy=-\frac{x+9y}{7x+y}dy$$Speziell an der Stelle \(\vec a=(2;3)^T\) ist also:$$dx=-\frac{2+9\cdot3}{7\cdot2+3}dy=\boxed{-\frac{29}{17}\,dy}$$
zu b) Da das Niveau beibehalten werden soll, muss gelten:
$$\left.F(\vec a)=F(2+\Delta x;3,35)\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.7\cdot2^2+2\cdot2\cdot3+9\cdot3^2=7(2+\Delta x)^2+2(2+\Delta x)\cdot3,35+9\cdot3,35^2\quad\right|\text{ausrechnen}$$$$\left.121=7(4+4\Delta x+(\Delta x)^2)+6,7(2+\Delta x)+101,0025\quad\right|\text{ausrechnen}$$$$\left.121=28+28\Delta x+7(\Delta x)^2+13,4+6,7\Delta x+101,0025\quad\right|\text{zusammenfassen}$$$$\left.7(\Delta x)^2+34,7\Delta x+21,4025=0\quad\right|\colon7$$$$\left.(\Delta x)^2+\frac{34,7}{7}\Delta x+\frac{21,4025}{7}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$\Delta x\approx-4,23522\;\lor\;\Delta x\approx-0,721922$$Da \(x\ge0\) sein soll, kommt als Änderung nur das zweite Ergebnis in Betracht:$$\boxed{\Delta x\approx-0,721922}$$
zu c) Hier brauchen wir nur in das Ergebnis von a) einzusetzen:$$dx=-\frac{29}{17}\cdot0,35=\boxed{-0,597059}$$
