Hallo,
Eine Norm ordnet einem Vektor \((x_1,\,x_2)\) eine Zahl zu. Jetzt ist hier die Vorgabe, dass die gesuchte Norm innerhalb des beschriebenen Rechtecks einen Wert von \(\lt 1\) und dann zwangsläufig auf der Rechteckgrenze den Wert \(1\) hat. Mein Vorschlag für so eine Definition wäre$$\|x\|_R = \begin{cases} |x_1| &\text{für}\space |x_2| \le 2|x_1|\\\frac12|x_2| &\text{für}\space |x_2| \gt 2|x_1|\end{cases}$$Das \({}_R\) soll für Rechteck-Norm stehen.
Die Definitheit ist erfüllt, und die absolute Homogenität auch (siehe Definition einer Norm). Ob die Dreiecksungleichung erfüllt ist, solltest Du selber mal überprüfen. Wenn Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Nachtrag: Wenn man die Koordinaten so abbildet, dass aus dem Rechteck ein auf der Spitze stehendes Quadrat wird, kann man anschließend die Summennorm benutzen, Diese Matrix \(A\) .... $$A = \frac 14 \begin{pmatrix}2& 1\\ -2& 1\end{pmatrix}$$
... erledigt die Abbildung \(x'=A\cdot x\), und dann verwendet man die Summennorm $$\|x'\|_1 = |x'_1| + |x'_2| \\ \implies \|x\|_R =\left\| A \cdot x \right\|_1 = \frac 14\left( |2x_1+x_2| + |-2x_1+x_2| \right)$$der Wert der Norm ist aber identisch zu oben.
Gruß Werner
