Berechnen Sie die folgenden Größen an der Stelle (6,4) unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Gegeben ist die Funktion
\( F\left(x_{1}, x_{2}\right)=12 \cdot x_{1}^{2}+4 \cdot x_{1} \cdot x_{2}+11 \cdot x_{2}^{2} \)

Berechnen Sie die folgenden Größen an der Stelle \( \mathbf{a}=(6,4)^{\top} \) unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion \( F(\mathbf{a}) \). (Gehen Sie außerdem davon aus, dass \( x_{1} \geq 0 \) und \( x_{2} \geq 0 \) gilt.)

a. Momentane Änderung von \( x_{2} \) bei Verănderung von \( x_{1} \) um eine marginale Einheit.
b. Exakte Veränderung von \( x_{2} \), wenn sich \( x_{1} \) um 0,45 Einheiten verringert.
c. Approximative Verănderung von \( x_{2} \), wenn sich \( x_{1} \) um 0,45 Einheiten verringert.

Kann mir bitte jemand weiter helfen komme immer auf die falschen Ergebnisse!

Comments

Hallo

bitte schreib, was du gerechnet hast, und wir korrigieren, als falsch,

So weiss man ja nicht, was du schon kannst.

lul

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist:$$F(x;y)=12x^2+4xy+11y^2\quad;\quad \vec a=(6;4)^T\quad;\quad x,y\ge0$$

zu a) Da das Niveau von \(F\) beibehalten werden soll, ist \(dF=0\):

$$0\stackrel!=dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=(24x+4y)dx+(4x+22y)dy\implies$$$$(4x+22y)dy=-(24x+4y)dx\implies dy=-\frac{24x+4y}{4x+22y}dy=-\frac{12x+2y}{2x+11y}dy$$Speziell an der Stelle \(\vec a=(6;4)^T\) ist also:$$dy=-\frac{12\cdot6+2\cdot4}{2\cdot6+11\cdot4}dx=\boxed{-\frac{10}{7}\,dx}$$

zu b) Da das Niveau beibehalten werden soll, muss gelten:$$\left.F(\vec a)=F(5,55\;|\;4+\Delta y)\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.12\cdot6^2+4\cdot6\cdot4+11\cdot4^2=12\cdot5,55^2+4\cdot5,55\cdot(4+\Delta y)+11(4+\Delta y)^2\quad\right|\text{ausrechnen}$$$$\left.11(\Delta y)^2+110,2\Delta y-69,57=0\quad\right|\colon11$$$$\left.(\Delta y)^2+\frac{110,2}{11}\Delta y-\frac{69,67}{11}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$\Delta y\approx-10,614\;\lor\;\Delta y\approx0,595866$$Da \(y\ge0\) sein soll, kommt als Änderung nur das zweite Ergebnis in Betracht:$$\boxed{\Delta y\approx0,595866}$$

zu c) Hier brauchen wir nur in das Ergebnis von a) einzusetzen:$$dy=-\frac{10}{7}\cdot(-0,45)=\boxed{0,642857}$$

Comments

Passt Antwort b) zum Wort "verringert" in der Aufgabenstellung?

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leider stimmen deine Antworten auch nicht :(

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@döschwo... Danke für den Hinweis, habe den Bug gefixt.

@Leyla01... Nun müsste alles stimmen.

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Habe die Ehre.

Answer 2

Forme 12x₁² + 4x₁x₂ + 11x₂² = 704 nach x₂ um und leite es nach x₁ ab.

Comments

Falls dies das Ganze etwas anschaulicher macht:

Im ersten Bild die Funktion F (orange) und das Niveau F(a) = 704 (blau), im zweiten Bild die Schnittline (d.h. die in der Antwort genannte Gleichung nach x₂ umgeformt). Ich habe allerdings x und y verwendet anstatt x₁ und x₂. Der rote Punkt ist die Stelle a. Die Ableitung hat dort den Wert \( -\frac{10}{7} \).

Für die gestellten Fragen bedeutet das:

a.

\( -\frac{10}{7} \)

b.

\( x=5,55 \) eingesetzt in die Funktion oberhalb des zweiten Graphen ergibt \( y≈4,596 \) d.h. der Wert von \( x_{2} \) hat sich um etwa 0,596 erhöht.

c.

\( -\frac{10}{7} \cdot (-0,45) \)