Offene Umgebung zeigen Gleichungssystem

Question

Aufgabe:

−e^x+y+x+z−1=0

ye^-z − e^-1 =0

a) Sei (x₀, y₀, z₀) ∈ R³ eine Lösung des Gleichungssystems. Zeigen Sie, dass es eine offene Umgebung
U von x₀ in R und stetig differenzierbare Funktionen g, h: U → R mit g(x₀) = y₀, h(x₀) = z₀ , und (x, g(x), h(x)) löst für alle x ∈ U das Gleichungssystem.
b) Sei (x0, y0, z0) = (0, 1, 1) und g, h wie in (i). Berechnen Sie g´(0) und h´(0)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wirklich, wie ich die Aufgabe angehen soll. Kann mir da jemand helfen? Bei der a) habe ich keine Ahnung, aber bei der b) müsste man doch eigentlich recht simpel etwas ausrechnen können, aber wie?

Answer 1

Hallo,

das ist eine Anwendung des Satzes über implizite Funktionen

Setze \(F\in C^1(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2)\) so, dass:$$F(x,y,z)=\begin{pmatrix} -e^x+y+x+z-1\\ye^{-z}-e^{-1} \end{pmatrix}$$ Es gilt sodann \(F(x_0,y_0,z_0)=(0,0)^T\). Berechne die Jacobi-Matrix:$$J_f(x_0,y_0,z_0)=\left .\begin{pmatrix} -e^x +1 & 1 & 1\\ 0 & e^{-z} & -ye^{-z} \end{pmatrix}\right|_{(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)}=\begin{pmatrix} -e^{x_0} +1 & 1 & 1\\ 0 & e^{-z_0} & -y_0e^{-z_0} \end{pmatrix}$$ Du kannst \(F\) also nach \(y\) oder \(z\) auflösen. Die Existenz dieser Funktionen liefert dann der Satz über die implizite Funktion.

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