Aufgabe 1:
Mit den folgenden Pari-Befehlen habe ich mir eine \( 5 x 6- \) Matrix mit Koeffizienten in \( Z_{11} \) in Gaußscher Normalform beschafft, welche den Rang 3 besitzt.
A = matid(3)
A = mattranspose(concat (A, matrix(3,3,i,j,random(10)+1)))
A = mattranspose(concat (A, matrix(6,2)))
A = mod(A,11)
Anschließend habe ich diese Matrix mit einer zufälligen invertierbaren Matrix in \( M_{5 \times 5}\left(\mathbb{Z}_{11}\right) \) von links multipliziert:
B = matrix(5,5,i,j),Mod(random(10)+1,11))
Den Ausdruck random(10)+1 benutze ich, um zufällige Zahlen zwischen 1 und 10 zu erhalten.
random(11) hätte zufällige Zahlen zwischen 0 und 10 produziert; ich wollte aber, um alles etwas komplizierter zu machen, Nullen vermeiden.
Natürlich hätte die so konstruierte Matrix \( B \) zufällig auch nicht invertierbar sein können. Jedoch ergab sich 5 als Resultat des Befehls matrank(B). Mein \( B \) war also invertierbar, und die Matrix \( \mathrm{B}^{*} \mathrm{~A} \) wird dann eine zufallige Matrix in \( M_{5 \times 6}\left(\mathbb{Z}_{11}\right) \) vom Rang 3.
Diese Matrix lässt sich leichter lesen mit dem Befehl lift(B*A).
Nehmen wir nun das Ergebnis dieser Rechnung:
\( A:=\left|\begin{array}{llllll}9 & 3 & 8 & 10 & 6 & 7 \\ 4 & 3 & 5 & 6 & 5 & 6 \\ 5 & 8 & 1 & 5 & 6 & 3 \\ 4 & 8 & 6 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 2 & 5\end{array}\right| \in M_{5 \times 6}\left(\mathbf{Z}_{11}\right) \)
Nach Konstruktion ist dies eine zufällige Matrix in \( M_{5 \times 6}\left(\mathbb{Z}_{11}\right) \) vom Rang 3.
Schließlich generiere ich noch einen zufälligen Vektor \( x_{0} \in Z_{11}^{6} \) mit dem Befehl x0=vector(6,1),Mod(random(10)+1,11))~
Die Tilde am Ende sorgt dafür, dass sich ein Spaltenvektor ergibt. Anderenfalls ließe sich das Produkt \( A x_{0} \) nicht bilden. Als Ergebnis erhalte ich \( A x_{0} = \left( \begin{array}{c}4 \\ 8 \\ 10 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)=; b \in \mathbb{Z}_{11}^{5} \)
Daher weiß ich, dass das Gleichungssystem \( A x=b \) lösbar ist und kann die Aufgabe stellen:
Benutzen Sie den Gaußschen Algorithmus, um
a) eine spezielle Losung des Gleichungssystems \( A x=b \) und
b) eine Basis des Kerns von \( A \) zu finden \( ^{1} \)
