Ermitteln Sie die allgemeine Gleichung g(x) der Geraden g des Dreiecks am Berührungspunkt

Question

Aufgabe:

Gegeben: f(x)=10*e^(-1/2(x-2)), unterhalb des Graphen der Funktion f berührt die Seite eines Dreiecks den Graphen f im unbekannten Punkt P(a/f(a))

Ermitteln Sie die allgemeine Gelichung g(x) der Geraden g des Dreiecks am Berührungspunkt und bestimmen die den Schnittpunkt der Geraden mit den Koordinatenachsen.

Problem/Ansatz:

Ich bin mit dieser Aufgabe leider total überfordert und weiß überhaupt nicht wie ich an sie heran gehen soll. Ich bräuchte hier einmal Hilfe bei der herangehensweise Bitte!

Answer 1

\( f(x)=e^{-\frac{1}{2}(x-2)}=e^{-\frac{1}{2} x+1} \)
\( f(a)=e^{-\frac{1}{2} \cdot a+1} \)
\( f^{\cdot}(x)=e^{-\frac{1}{2} x+1} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \)
\( f^{\prime}(a)=e^{-\frac{1}{2} \cdot a+1} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \)
Tangentengleichung: ( Geradengleichung in der Punkt-Steigungsfom)
\( \frac{y-y_{P}}{x-x_{P}}=f \)\( (a) \)

\( y=f^{\cdot}(a) \cdot\left(x-x_{P}\right)+y_{P} \)
\( P\left(a \mid e^{-\frac{1}{2} \cdot a+1}\right) \)
\( y=e^{-\frac{1}{2} \cdot a+1} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot(x-a)+e^{-\frac{1}{2} \cdot a+1}=e^{-\frac{1}{2} \cdot a+1} \cdot\left[\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot(x-a)+1\right] \)
Schnitt mit der \( \mathrm{x} \) - Achse:
\( e^{-\frac{1}{2} \cdot a+1} \cdot\left[\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot(x-a)+1\right]=0 \)
\( e^{-\frac{1}{2} \cdot a+1} \neq 0 \)
\( \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot(x-a)+1=0 \)
\( -\frac{1}{2} x=-1-\frac{1}{2} a \mid \cdot(-2) \)
\( x=2+a \)
Schnitt mit der \( y \) -Achse:
\( y(0)=e^{-\frac{1}{2} \cdot a+1} \cdot\left[\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot(0-a)+1\right]=e^{-\frac{1}{2} \cdot a+1} \cdot\left[\frac{a}{2}+1\right] \)

Answer 2

Hallo,

ich denke, dass mit der allgemeinen Gleichung der Geraden die Gleichung der Tangente an diesem Punkt gemeint ist.

Gruß, Silvia

Comments

Ich danke dir vielmals

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Könnte mir vielleicht noch einer erklären wie ich die Tangente an einem unbekanntem Punkt bestimme?

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Könnte mir vielleicht noch einer erklären wie ich die Tangente an einem unbekanntem Punkt bestimme?

Bekannt sollte der Punkt schon sein, auch wenn es nur ein Parameter \(x=a\) ist.

in diesem Fall geht das über die Punkt-Steigungsform einer Geraden. Für eine Tangente \(g\) an eine Funktion \(f\) in einen Punkt \((a|\,f(a))\) gilt ganz allgemein$$g(x) = f'(a)(x-a) + f(a)$$

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Wenn du die von Werner angesprochene Punktsteigungsform verwendest, brauchst du f(a) und f'(a)

\(f(a)=10e^{-0,5a+1}\\f'(a)=-5e^{-0,5a+1}\)

Eingesetzt ergibt das

\(t(x)=-5e^{-0,5a+1}\cdot(x-a)+10e^{-0,5a+1}=5e^{-0,5a+1}\cdot (-x+a+2)\)

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Danke euch beiden!