Zeigen Sie: Das Ideal (f) von K[x] ist genau dann maximal, wenn f irreduzibel ist

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und f ∈ K[x]. Zeigen Sie: Das Ideal (f) von K[x] ist genau dann maximal, wenn f irreduzibel ist

Problem/Ansatz:

Ich weiß das man beide Seiten beweisen muss nur ich finde keinen Ansatz wie ich das machen soll.

Vielen Dank im voraus

Comments

(f) maximales Ideal <=> f irreduzibel

=> Per Kontraposition: Sei f nicht irreduzibel etwa f=g*h. Was ist dann z.B ein echtes Ideal \( I \subsetneq K[x] \) mit \( (f) \subsetneq I \) ?

<= Auch hier per Kontraposition: Sei (f) nicht maximal. Da K ein Körper ist K[x] ein ... also existiert ein g in K[x] mit

$$ (f) \subsetneq (g) \subsetneq K[x] $$

Warum ist f damit reduzibel?

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Kann mir leider nicht so wirklich unter diesem Maximal was vorstellen bzw. wie das gemeint ist bei Ideal

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Was ein Ideal ist weißt du hoffentlich. Der ganze Ring ist selbst ein Ideal. Ideale ungleich dem ganzen Ring nennt man echte Ideale.

Ein Ideal heißt maximal, wenn es kein echtes Ideal gibt, dass noch größer als dieses Ideal ist, es also echt umfasst.

Bsp. in ℤ

2ℤ und 4ℤ sind Ideale.

Jede durch 4 teilbare Zahl ist durch 2 teilbar, die Umkehrung gilt nicht.

Also \( 4ℤ \subseteq 2\mathbb Z \).

4ℤ ist also kein maximales Ideal.

2ℤ hingegen schon, denn es gibt kein echtes Ideal I

$$ 2\mathbb Z \subsetneq I \subsetneq \mathbb Z $$

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Also weil ein irreduzibles f so zu sagen der "kleinste Teiler" wie im Beispiel 2ℤ ist ist f somit auch ein maximales Ideal?

Demnach müsste ich ja irgendwie aufschreiben das es bei f=g*h nicht so ist?

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Ja so ähnlich. 2 ist ein Teiler von 4 und 4Z ist enthalten in 2Z

wenn g jetzt ein Teiler von f ist, dann ... ?