Hallo :-)
mit der Dimensionsformel kannst du nur die Länge einer Basis bestimmen, aber nicht wie ihre Vektoren aussehen.
Die Basis von \(U\) lässt sich ganz einfach durch Umformen von der Bedingung \(x_1+2x_2-x_3+5x_4 = 0\) zu \(x_3=x_1+2x_2+5x_4\) hinschreiben:
\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_1+2x_2+5x_4\\x_4\end{pmatrix}=x_1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_2\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix}+ x_4\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\5\\1\end{pmatrix}\). Alle drei Spaltenvektoren sind schon beim Hinschauen linear unabhängig. Also ist $$ \left \{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\5\\1\end{pmatrix}\right \} $$
eine Basis von \(U\) und es gilt
$$ U= \langle \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\5\\1\end{pmatrix} \rangle $$.
Bei \(V\) sind beide Vektoren bereits eine Basis.
\(U+V\) heißt ja, dass du einen Vektor \(u\in U\) und \(v\in V\) nimmst und diese addierst und einen neuen Vektor \(w:=u+v\) erhältst. Diese neuen Vektoren \(w\) lassen sich also als Linearkombination einer neuen Basis aus \(U+V\) schreiben. Jetzt kannst du anfangen entweder \(U\) mit Vektoren aus \(V\) solange zu erweitern, bis die Basis nicht mehr größer wird (oder umgekehrt mit Vektoren aus \(U\) damit \(V\) erweitern).
Für \(U\cap V\) suchst du gemeinsame Vektoren. Dafür kannst du folgendes LGS betrachten:
$$ a\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\5\\1\end{pmatrix}=d\cdot \begin{pmatrix}-2\\0\\4\\2\end{pmatrix}+e\cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\2\\1\end{pmatrix}. $$
