Gegeben sind im Vektorraum R4 die Unterräume U = {x ∈ R4 | x1 + 2x2 − x3 + 5x4 = 0}, V=<(-2,0,4 ,2); (3,-1,2,1)>

Question

Gegeben sind im Vektorraum R⁴  die Unterräume

$U = \{x\in \mathbb{R}^4:\space x_1+2x_2-x_3+5x_4 = 0\}$,

$V=\langle (-2,0,4 ,2)^T, (3,-1,2,1)^T\rangle$

Wie bestimme ich die Basis für:

$U+V$ und $U\cap V$ mit der Dimensionsformel
$\dim(U + V) = \dim(U) + \dim(V) − \dim(U\cap V)$.

Gruß.

Answer 1

Hallo :-)

mit der Dimensionsformel kannst du nur die Länge einer Basis bestimmen, aber nicht wie ihre Vektoren aussehen.

Die Basis von $U$ lässt sich ganz einfach durch Umformen von der Bedingung $x_1+2x_2-x_3+5x_4 = 0$ zu $x_3=x_1+2x_2+5x_4$ hinschreiben:

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_1+2x_2+5x_4\\x_4\end{pmatrix}=x_1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_2\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix}+ x_4\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\5\\1\end{pmatrix}$. Alle drei Spaltenvektoren sind schon beim Hinschauen linear unabhängig. Also ist $$\left \{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\5\\1\end{pmatrix}\right \}$$

eine Basis von $U$ und es gilt

$$U= \langle \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\5\\1\end{pmatrix} \rangle$$.

Bei $V$ sind beide Vektoren bereits eine Basis.

$U+V$ heißt ja, dass du einen Vektor $u\in U$ und $v\in V$ nimmst und diese addierst und einen neuen Vektor $w:=u+v$ erhältst. Diese neuen Vektoren $w$ lassen sich also als Linearkombination einer neuen Basis aus $U+V$ schreiben. Jetzt kannst du anfangen entweder $U$ mit Vektoren aus $V$ solange zu erweitern, bis die Basis nicht mehr größer wird (oder umgekehrt mit Vektoren aus $U$ damit $V$ erweitern).

Für $U\cap V$ suchst du gemeinsame Vektoren. Dafür kannst du folgendes LGS betrachten:

$$a\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\5\\1\end{pmatrix}=d\cdot \begin{pmatrix}-2\\0\\4\\2\end{pmatrix}+e\cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\2\\1\end{pmatrix}.$$