Taylorentwicklung einer Nullstelle in Abhängigkeit von Koeffizienten um einen Ausgangspunkt

Question

wir haben ein Problem bei folgender Aufgabe:

Text erkannt:

Das Polynom \( 1+2 x-x^{2}+3 x^{4}-5 x^{5} \) hat bei \( x=1 \) eine einfache Nullstelle \( x_{0} \). Berechnen Sie die Taylorentwicklung dieser Nullstelle in Abhängigkeit von den Koeffizienten \( \left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right) \) um den Ausgangspunkt \( (1,2,-1,0,3,-5) \) von der Ordnung \( 3 . \)

Uns ist klar, wie man die Taylorentwicklung n-ter Ordnung um einen Punkt berechnet, allerdings verstehen wir hier nicht, wie man die Entwicklung eines Punktes in Abhängigkeit von Koeffizienten um einen Ausgangspunkt berechnen kann.

Wir würden uns über jede Hilfe freuen!

mit freundlichen Grüßen,

luki

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/$$p(x)=1+2x-x^2+3x^4-5x^5$$$$p(x)=1+2[1+(x-1)]-[1+(x-1)]^2+3[1+(x-1)]^4-5[1+(x-1)]^5$$$$p(x)=1$$$$\phantom{p(x)}\;+2\left[1+(x-1)\right]$$$$\phantom{p(x)}\;-\left[1+2(x-1)+(x-1)^2\right]$$$$\phantom{p(x)}\;+3\left[1+4(x-1)+6(x-1)^2+4(x-1)^3+\cancel{(x-1)^4}\right]$$$$\phantom{p(x)}\;-5\left[1+5(x-1)+10(x-1)^2+10(x-1)^3+\cancel{5(x-1)^4}+\cancel{(x-1)^5}\right]$$Die gestrichenen Terme fallen weg, das wir die Taylor-Reihe bis zur dritten Ordnung bestimmen sollen.$$p(x)=-13(x-1)-33(x-1)^2-38(x-1)^3$$

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ich habe diesbezüglich jedoch noch eine Frage. Ist das nicht einfach gleich der Taylorentwicklung meines Polynoms um den Punkt x=1? Bzw. warum/inwiefern handelt es sich hierbei genau um die Taylorentwicklung in Abhängigkeit von den Koeffizienten um meinen Ausgangspunkt (1,2,-1,0,3,-5)?

Liebe Grüße, L

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Ja genau, du hättest das auch mit der Taylor-Formel berechnen können.

Mit Ausgangspunkt sind die Koeffizienten des Polynoms gemeint:$$p(x)=\boxed{1}+\boxed{2}x\boxed{-1}x^2+\boxed{0}x^3+\boxed{3}x^4\boxed{-5}x^5$$