ε − δ-Kriterium f : ℝ ≥0 → ℝ; x → √x

Question

Zu zeigen ist mittels des ε − δ-Kriteriums, dass
f : ℝ ≥0 → ℝ
x → \( \sqrt{x} \)

in x0 = 5 stetig ist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie mittels des ε − δ-Kriteriums, dass

Stichworte: stetigkeit

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels des ε − δ-Kriteriums, dass
f : R_≥0 → R
x →  Wurzel von x

in x₀ = 5 stetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe Schwierigkeiten mit diesem Thema. Auf eine Antwort werde ich mich freuen.

Answer 1

Aloha :)$$f(x)=\sqrt x\quad;\quad x\in\mathbb R^{\ge0}\quad;\quad x_0=5$$

Sei \(\varepsilon>0\) beliebig, aber fest gewählt. Wir konstruieren im Folgenden ein \(\delta>0\), sodass für alle \(|x-x_0|<\delta\) gilt \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\) .

$$\left|f(x)-f(x_0)\right|=\left|\sqrt x-\sqrt5\right|=\left|\frac{(\sqrt x-\sqrt5)(\sqrt x+\sqrt5)}{\sqrt x+\sqrt5}\right|=\left|\frac{x-5}{\sqrt x+\sqrt5}\right|=\frac{|x-5|}{\sqrt x+\sqrt5}$$$$\phantom{\left|f(x)-f(x_0)\right|}<\frac{\delta}{\sqrt x+\sqrt5}\le\frac{\delta}{\sqrt5}=\varepsilon\quad\implies\quad\delta=\sqrt5\cdot\varepsilon$$

Damit ist die Funktion \(f(x)\) stetig in \(x_0=5\).

Comments

Vielen Dank!

kannst du mal auf die Frage im Link auch antworten?

https://www.mathelounge.de/851350/begrunden-sie-ihre-antwort-und-geben-sie-eine-skizze-an#a851354