Anfangswertproblem nxn Matrix

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
$$ \left\{\begin{aligned} \mathbf{x}^{\prime} &=A \mathbf{x} \quad \text { in }[0, T] \\ \mathbf{x}(0) &=\mathbf{x}_{0} \end{aligned}\right. $$
mit \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) und
$$ A_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { falls }(i=1 \& j \in\{2, \ldots, n\}) \text { oder }(j=n \& i \in\{1, \ldots, n-1\}) \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. $$

Problem/Ansatz:

ich komme bei diesem Anfangswertproblem nicht weiter.

Meine Überlegungen dazu waren, dass 0 der Eigenwert mit Vielfachheit n ist, da auf der Diagonalen ja nur 0er stehen. Und das sind ja bei einer Dreiecksmatrix die Eigenwerte.

Jedoch bekomme ich keine Eigenvektoren bestimmt und weiß nicht, wie die Lösungsmatrix aussehen soll.

Vielen Dank für die Hilfe.

Comments

Hallo,

muss es mit der Standard-Methode gelöst werden?

Wenn nicht, würde ich mir mal die einzelnen Differentialgleichungen (Zeile für Zeile) aufschreiben und das Ganze vom Ende her auflösen.

Gruß Mathhilf

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Hallo

soweit ich das sehe ist eis keine Dreiecksmatrix, und deshalb auch der EW nich 0

Schreibs mal für R^{2 x 2} auf .

lul

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\(0\) ist hier immer der einzige Eigenwert. Für \(n=2\) ist nur diese Gestalt mit \(1\)  vorkommend möglich:

\(\begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}\)

Die Bedingung

\((i=1 \space \& \space j \in\{2, \ldots, n\}) \text { oder }(j=n \space \& \space i \in\{1, \ldots, n-1\})\) ist hier erfüllt. Die Gestalt für beliebige \(n\) lautet:

\(\begin{pmatrix}0&1&\cdots&1\\\vdots & & \textbf{0} &\vdots \\0 & \cdots & 0 & 1\\0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{n \times n}\).

Diese Matrix ist nicht diagonalisierbar, besitzt jedoch eine Jordan-Normalform.

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So (wie @hallo97) habe ich die Aufgabenbeschreibung auch verstanden. Und die Jordan-Normalform ist damit ja auch ziemlich einfach. Nur um die Aufgabe weiter zu lösen, brauche ich noch die Transformationsmatrix. Die kann ich doch aber nur aufstellen, wenn ich die Eigenvektoren kenne oder? Darüber weiß ich aber nur, dass es n viele gibt, die ich aber nicht allgemein formulieren kann.

Und @mathhilf: Ich habe ja aber eine nxn Matrix und müsste damit dann n DGLs aufstellen und lösen oder? Wie gehe ich dabei denn vor? Mit Induktion?

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Hallo,

schreib doch diese n Gleichungen mal hierhin, dann siehst Du wie es geht.

Gruß Mathhilf

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@Mathhilf: so?

x1' = x2+x3+x4+...+xn

x2' = xn

x3' = xn

...

xn-1' = xn

xn' = 0

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Ja, und was folgt aus der letzten Gleichung?

Wenn das geklärt ist, was folgt aus den Gleichungen n-1 bis 2?

Wenn das geklärt ist, was folgt aus der Gleichung 1?

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oh wie blöd von mir :D

Vielen Dank!