Bestimmen Sie Matrizen T ∈ GL(4, ℝ) und S ∈ GL(5, ℝ), sodass T -1BS=(Ir 0 0 0)

Question

Aufgabe:

Es seien

B= \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 2 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \) ∈ ℝ^4×5

und r = Rang B.

Bestimmen Sie Matrizen T ∈ GL(4, ℝ)  und S ∈ GL(5, ℝ), sodass T ^-1BS = \( \begin{pmatrix} Ir & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)  (*)

( Es soll I_r sein, und nicht Ir, aber sonst geht die Darstellung der Matrix irgendwie kaputt...)

[Hinweis: Bringen Sie zunächst B in Zeilenstufenform mit elementaren Zeilenumformungen,
dann das Ergebnis in die Form (*) mit elementaren Spaltenumformungen. Sie erhalten die
Matrix S durch Anwendungen der Spaltenumformungen auf I₅ in derselben Reihenfolge und
die Matrix T durch Anwendung der Zeilenumformungen auf I₄ in umgekehrter Reihenfolge.]

Problem/Ansatz:

Ich weiß noch nicht mal, wie ich die Matrix in Zeilenstufenform bringen soll....

Answer 1

Elementare Umformungen zum Gaußalgorithmus siehe

https://www.geogebra.org/m/qbtj5mhd

Das ist in etwa das selbe wie eine LR Zerlegung

https://www.geogebra.org/m/c94bmjuy

und ansonsten viel Schreibarbeit. Hast Du ein Werkzeug (z.B. GeoGebra) oder machst Du Handarbeit?

und wenn du weiteren Input brauchst melde Dich...

Add -

auf dem Desktop kann ich die Rechnung durchlaufen lasssen:

\(\small T^{-1} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}4&-1&-1&0\\-5&2&1&0\\-2&0&1&0\\1&0&-1&1\\\end{array}\right)\)

\(\small S \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&-1&-1\\0&1&0&1&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&-1\\0&0&0&0&1\\\end{array}\right)\)

T^-1 B S = \(\small \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

Comments

Die letzte Matrix hat nicht die gewünschte Form.

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Ja, danke, da war ich noch nicht fertisch...

Ich mach ein update.

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Hallo wächter,

könntest du die Aufgabe vielleicht genauer erläutern? Die Zeilenstufenform hab ich hinbekommen, aber ich würde gerne wissen, wie genau man auf die 3 anderen Matrizen kommt?

Also ich habe verstanden, dass ich die Matrix B in die Form (*) bringen muss, weiss aber nicht wie genau ich das machen soll und brauche einen Ansatz oder ein Beispiel?

Und mein Problem wäre vielleicht schon gelöst, wenn man mir erklären würde, was I_r genau bedeuten soll und wie ich die Matrix in die Form bringe?

Danke :D

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das ist die einheitsmatrix in R^r, wie ja auch in meinem rechenbeispiel zu sehen.

ich hab aber die rechnung nicht aufgehoben, da solange keine rückmeldung erfolgt ist...

wenn du die zeilenstufenform hast ist T gefunden, B entsteht durch entsprechende spaltenumformungen.

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Hallo wächter, ich weiß auch nicht weiter...

Die Zeilenstufenform sieht ja etwa wie folgt aus:

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}2 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

Wie erhalte ich hier raus T ?

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}2 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

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Also ich hab als Zeilenstufenform per Gaußalgorithmus das raus:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \)

Dein Ergebnis habe ich auch raus, aber bei einer LR-Zerlegung.

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Zeilenstufenform

\(\small T^{-1} B = \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&1&0&1\\0&1&-1&0&-1\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

T^-1 ist das Produkt der Zeilenumforungen aus Elementarmatrizen (Link siehe oben)

Jetzt überführen Elementarmatrizen für Spaltenumformungen bzw. Spaltentausche auf die geforderte Form:

Spalte 1 zu Spalte 3/Spalte 5

Spalte 2 zu Spalte 3/Spalte 5

Spalte 4 zu Spalte 5

Tausche SPalte 3<>4

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Hallo Wächter, ich habe jetzt verstanden wie man auf T^-1*B kommt.

Könntest du vielleicht nochmal erklären, wie ich auf die Matrix S und T selbst komme?

Im Hinweis steht "Sie erhalten die Matrix S durch Anwendungen der Spaltenumformungen auf I5 in derselben Reihenfolge und die Matrix T durch Anwendung der Zeilenumformungen auf I4 in umgekehrter Reihenfolge" aber ich verstehe leider überhaupt nicht was damit gemeint ist.

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hm,

das ist eine frage der arbeitsweise.

ich arbeite lieber mit elementarmatrizen, weil die ganz schematisch gebaut werden (siehe link oben) und dann zusammengefasst werden können. T^-1 sind zeilenumformungen und S sind Spaltenumformungen.

man kann aber auch B um eine zeileneinheitsmatrix und eine spalteneinheitsmatrix erweitern und alle zeilen- und spaltenoperationen für B auch auf die einheitsmatrizen anwenden. wenn man B dann auf die Form gebracht hat, geben die erweiterungen T und S wieder. ich für meinen teil vertue mich aber bei diesem zahlen monster recht gerne, deshalb schreib ich die elementarmatrizen runter und fasse sie zusammen...

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Vielen Dank für die hilfreiche Antwort!