Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit:u

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit:

f(x)= (-10+13x)/(-8-2x+x^2) <—- im Bruchstrich

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.

Ich gehe von Substitution aus allerdings wäre die Summenregel auch eine Vorgehensweise...

Könnte mir ggf. jemand sein Lösungsvorschlag geben.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die Funktion vor der Integration in Partialbrüche zerlegen:$$f(x)=\frac{13x-10}{x^2-2x-8}=\frac{13x-10}{(x-4)(x+2)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+2}$$

Die Werte für \(A\) und \(B\) sind:$$A=\frac{13x-10}{\cancel{(x-4)}(x+2)}\bigg|_{x=4}=\frac{13\cdot4-10}{4+2}=7$$$$B=\frac{13x-10}{(x-4)\cancel{(x+2)}}\bigg|_{x=-2}=\frac{13\cdot(-2)-10}{-2-4}=6$$

Also gilt:$$f(x)=\frac{7}{x-4}+\frac{6}{x+2}$$

Das Integral kann man sofort hinschreiben:$$\int f(x)\,dx=7\ln|x-4|+6\ln|x+2|+\text{const}$$

Answer 2

Mache eine Partialbruchzerlegung

(-10 + 13·x)/(-8 - 2·x + x^2)

= (13·x - 10)/(x^2 - 2·x - 8)

= (13·x - 10)/((x + 2)·(x - 4))

= 7/(x - 4) + 6/(x + 2)

Jetzt lässt sich das recht einfach integrieren.