M ist abgeschlossen <-> V\M ist offen

Question

Hallo, man hat einen nomierten Vektorraum \(V\) und \(\subseteq M \), man soll folgendes zeigen:

 $$\text{M ist abgeschlossen} \iff \text{ V }\setminus \text{M ist offen }$$

Comments

"\(\subseteq\)" ist kein Substantiv (Untermenge), sondern ein Prädikat (ist Untermenge von).

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Irgendwie hat das mit latex nicht wirklich geklappt, es sollte da stehen: M\(\subseteq\)V

Answer 1

\(\begin{aligned} & M\text{ abgeschlossen}\\ \iff & \text{Jeder Randpunkt von }M\text{ gehört zu }M\\ \iff & \text{Jeder Randpunkt von }V\setminus M\text{ gehört zu }M\\ \iff & \text{Jeder Punkt von }V\setminus M\text{ ist innerer Punkt von }V\setminus M\\ \iff & V\setminus M\text{ ist offen} \end{aligned}\)

Comments

Woher weiß man, dass jeder Randpunkt von V \ M zur Menge M gehört?

Da M eine Teilmenge von V ist, könnte doch mehrere Werte in V exestieren, welcher größer/kleiner als jene Randpunkte in M sind.

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Woher weiß man, dass jeder Randpunkt von V \ M zur Menge M gehört?

Das hängt von der Leserichtung des Beweises ab.

Von oben nach unten weiß man es, weil jeder Randpunkt von \(V\setminus M\) wegen \(V = (V\setminus M)\dot\cup M\) auch Randpunkt von \(M\) ist und \(M\) wegen der Abgeschlossenheit alle seine Randpunkte enthält.

Von unten nach oben weiß man es, weil \(V\setminus M\) wegen der Offenheit keinen seiner Randpunkte enthalten kann und \(V = (V\setminus M)\dot\cup M\) ist.

Da M eine Teilmenge von V ist, könnte doch mehrere Werte in V exestieren, welcher größer/kleiner als jene Randpunkte in M sind.

Ich verstehe nicht, inwiefern dieses Argument relevant ist.

\(V \coloneqq \mathbb{R}, M\coloneqq [3,5]\). Dann ist \(3\) ein Randpunkt. \(1\) und \(2\) sind kleiner als der Randunkt. \(4\) und \(5\) sind größer als der Randpunkt. Na und?